Question

在某个半径为R=10⁵m的行星表面，对于一个质量m=1kg的砝码，用弹簧称量，其重力的大小G=1.6N．则：
①请您计算该星球的第一宇宙速度v₁是多大？
②请计算该星球的平均密度．（球体积公式V=

4

3

πR3，G=6.67×10^-11N?m²/kg²，结果保留两位有效数字）

Answer 1

分析：（1）由重量和质量的关系知行星表面的重力加速度，第一宇宙速度是近表面运行速度，应用牛顿第二定律求解第一宇宙速度
（2）根据万有引力等于重力求出行星质量，根据密度公式求解

解答：解：（1）由重量和质量的关系知：G=mg
所以g=

G

m

=1.6m/s²
设环绕该行星作近地飞行的卫星，其质量为m′
所以根据万有引力提供向心力，应用牛顿第二定律有：
m′g=m′

v 2 1

R

解得：v1=

Rg

代入数值得第一宇宙速度：v₁=400m/s
（2）根据万有引力等于重力得
mg=G

Mm

R2

M=

gR2

G

又V=

4

3

πR3
∴ρ=

M

V

=

3g

4πGR

代入数据解得ρ=5.7×10⁴kg/m³
答：①请您计算该星球的第一宇宙速度v₁是400m/s
②请计算该星球的平均密度是5.7×10⁴kg/m³．

点评：解决本题的关键掌握万有引力提供向心力以及万有引力等于重力．知道第一宇宙速度的具体含义．