Question

如图所示，质量为m小球从斜面AB上的A点由静止下滑，通过水平轨道BC后进入半径为R的半圆轨道CD，恰好通过圆弧最高点D，斜面AB与水平轨道BC在B处通过一小段光滑圆弧轨道连接．一切摩擦不计．求：
（1）小球从静止开始下落时的高度h．
（2）小球经过半圆轨道的最低点C时对轨道的压力．

Answer 1

分析：（1）小球恰好能通过圆弧轨道最高点D，此位置恰好由物体的重力作为向心力，由向心力的公式可以求得在D点的速度大小，从A到D的过程中，物体的机械能守恒，从而可以求得小球释放时离最低点的高度h．
（2）在C点时，对物体受力分析，重力和支持力的合力作为向心力，由向心力的公式可以求得小球受得支持力的大小，再由牛顿第三定律可以知道对轨道压力的大小．

解答：解：（1）在D点，设小球的速度为v_D，则有mg=m

v 2 D

R

∴v_D=

gR

小球由A运动到D点的过程，由机械能守恒得：
  mg（h-2R）=

1

2

m

v

2 D

∴h=

5

2

R
（2）小球由A运动到C点的过程，由机械能守恒得：mgh=

1

2

m

v

2 C

通过C点时，有N-mg=m

v 2 C

R

联立上两式解得，N=6mg
则根据牛顿第三定律得：小球经过半圆轨道的最低点C时对轨道的压力大小为6mg，方向竖直向下．
答：
（1）小球从静止开始下落时的高度h为

5

2

R．
（2）小球经过半圆轨道的最低点C时对轨道的压力为6mg，方向竖直向下．

点评：本题是机械能守恒和向心力的综合应用，关键要明确小球到达最高点的临界条件．