Question

如下图中甲所示为传送装置的示意图。绷紧的传送带长度L=2.0m，以v=3.0m/s的恒定速率运行，传送带的水平部分AB距离水平地面的高度h=0.45m。现有一行李箱（可视为质点）质量m=10kg，以v₀＝1.0 m/s的水平初速度从A端滑上传送带，被传送到B端时没有被及时取下，行李箱从B端水平抛出，行李箱与传送带间的动摩擦因数m＝0.20，不计空气阻力，重力加速度g取l0 m/s²。

   （1）求行李箱从传送带上A端运动到B端过程中摩擦力对行李箱冲量的大小；

（2）传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦，求为运送该行李箱电动机多消耗的电能；

（3）若传送带的速度v可在0～5.0m/s之间调节，行李箱仍以v₀的水平初速度从A端滑上传送带，且行李箱滑到B端均能水平抛出。请你在图乙中作出行李箱从B端水平抛出到落地点的水平距离x与传送带速度v的关系图象。（要求写出作图数据的分析过程）

Answer 1

（1）行李箱刚滑上传送带时做匀加速直线运动，设行李箱受到的摩擦力为F_f

根据牛顿第二定律有   F_f＝mmg＝ma

解得 a＝mg＝2.0 m/s²                                             

设行李箱速度达到v＝3.0 m/s时的位移为s₁

v²－v₀²＝2as₁

s₁＝                                            

即行李箱在传动带上刚好能加速达到传送带的速度3.0 m/s          

设摩擦力的冲量为I_f，依据动量定理I_f＝mv－mv₀                      

解得I_f＝20N·s                                               

（2）在行李箱匀加速运动的过程中，传送带上任意一点移动的长度s＝vt＝3 m

行李箱与传送带摩擦产生的内能Q＝mmg（s-s₁）                       

行李箱增加的动能ΔE_k＝m（v²－v₀²）                           

设电动机多消耗的电能为E，根据能量转化与守恒定律得

E＝ΔE_k+Q

解得 E＝60J                                                  

（3）物体匀加速能够达到的最大速度v_m＝

当传送带的速度为零时，行李箱匀减速至速度为零时的位移s₀＝=0.25m<L

当传送带的速度0<v<3.0m/s时，

行李箱的水平位移，式中为恒量，即水平位移x与传送带速度v成正比。         

当传送带的速度v³3.0m/s时，x＝   

行李箱从传送带水平抛出后的x-v图象答案如下图所示。