Question

某校物理兴趣小组决定举行遥控赛车比赛，比赛路径如图所示．可视为质点的赛车从起点A出发，沿水平直线轨道运动L后，由B点进入半径为R的光滑竖直半圆轨道，并通过半圆轨道的最高点C，才算完成比赛．B是半圆轨道的最低点，水平直线轨道和半圆轨道相切于B点．已知赛车质量m=0.5kg，通电后以额定功率P=2W工作，进入竖直圆轨道前受到的阻力恒为F_f=0.4N，随后在运动中受到的阻力均可不计，L=10.00m，R=0.32m，（g取10m/s²）．求：
（1）要使赛车能通过C点完成比赛，通过C点的速度至少多大？
（2）赛车恰能完成比赛时，在半圆轨道的B点的速度至少多大？这时对轨道的压力多大．
（3）要使赛车完成比赛，电动机从A到B至少工作多长时间．
（4）若电动机工作时间为t₀=5s，当R为多少时赛车既能完成比赛且飞出的水平距离又最大，水平距离最大是多少？

Answer 1

分析：（1）赛车恰好通过最高点时，靠重力提供向心力，根据牛顿第二定律求出通过C点的最小速度．
（2）根据机械能守恒定律求出赛车在B点的最小速度，根据牛顿第二定律求出赛车对轨道的压力．
（3）对A到B过程运用动能定理，求出电动机从A到B至少工作的时间．
（4）根据动能定理求出赛车到达最高点的速度，结合平抛运动的规律求出水平位移，通过数学知识求出水平位移的最大值．

解答：解：（1）当赛车恰好过C点时在B点对轨道压力最小，赛车在B点对有：mg=m

vc2

R

 解得：vc=

gR

=

4 5

5

m/s…①
（2）对赛车从B到C由机械能守理得：

1

2

mvB2=

1

2

mvc2+mg?2R…②
赛车在B处受力分析如图，则：FN-mg=m

vB2

R

…③
由①②③得：vB=

5gR

=4m/s
F_N=6mg=30N   
由牛顿第三定律知，对轨道的压力大小等于30N    
（3）对赛车从A到B由动能定理得：
Pt-FfL=

1

2

mvB2-0  
解得：t=4s   
（4）对赛车从A到C由动能定理得：
Pt0-FfL-mg?2R=

1

2

mv02
赛车飞出C后有：2R=

1

2

gt2，x=v₀t   
解得：x=

-16(R2- 3 5 R)

所以当R=0.3m时x最大，x_max=1.2m    
答：（1）要使赛车能通过C点完成比赛，通过C点的速度至少

4 5

5

m/s．
（2）赛车恰能完成比赛时，在半圆轨道的B点的速度至少4m/s，这时对轨道的压力为30N．
（3）要使赛车完成比赛，电动机从A到B至少工作4s．
（4）当R=0.3m时x最大，x_max=1.2m

点评：本题考查了动能定理、机械能守恒定理以及牛顿第二定律的综合运用，涉及到直线运动、圆周运动、平抛运动，难度中等，是一道好题．