Question

如图所示，光滑固定轨道的两端都是半径为R的四分之一圆弧，在轨道水平面上有两个质量均为m的小球B、C，B、C用一长度锁定不变的轻小弹簧栓接，弹性势能Ep=

2

3

mgR．一质量也为m的小球A从左侧的最高点自由滑下，A滑到水平面与B碰后立即粘在一起结合成D就不再分离（碰撞时间极短）．当D、C一起刚要滑到右侧最低点时，弹簧锁定解除且立即将C弹出并与弹簧分离．求
（1）弹簧锁定解除前瞬间，D、C速度大小
（2）弹簧锁定解除后，C第一次滑上轨道右侧圆弧部分的轨迹所对的圆心角
（3）弹簧锁定解除后，若C、D（含弹簧）每次碰撞均在水平面；求第N次碰撞结束时，C、D的速度．

Answer 1

分析：1、运用机械能守恒定律求解A球碰撞前的速度，据A、B、C系统动量守恒求解
2、根据弹簧锁定解除前后，系统动量守恒和机械能守恒求解
3、根据C、D（含弹簧）动量守恒和机械能守恒求解

解答：解：（1）根据机械能守恒定律得：
mgR=

1

2

mv12…．①
据A、B、C系统动量守恒得：
mv₁=3mv…②
由①②得v=

2gR

3

…③
（2）根据弹簧锁定解除前后，系统动量守恒得：
3mv=mv_c+2mv_D…④
根据系统机械能守恒得：

1

2

3mv2+Ep=

1

2

2mvD2+

1

2

mvC2…⑤
由③④⑤得：vc=-

1

3

2gR

（舍去） vc=

2gR

 vD=-

2

3

2gR

（舍去）  v_D=0…⑥
C第一次滑上轨道右侧圆弧部分，根据系统机械能守恒得：
mgR(1-cosθ)=

1

2

mvC2…⑦
由⑥⑦得：θ=90°
（3）以左为正方向，根据C、D（含弹簧）动量守恒得：
第一次：mv_C=mv_C1+2mv_D1…⑧
根据系统机械能守恒得：
mgR=

1

2

mvC12+

1

2

2mvD12…⑨
由⑧⑨得：vC1=

2gR

（舍去）  vC1=-

1

3

2gR

   v_D1=0（舍去）  vD1=

2

3

2gR

…．⑩
同理第二次：-2mv_D1+mv_C1=mv_C2+2mv_D2…..（11）
mgR=

1

2

mvC22+

1

2

2mvD22…（12）
由⑩（11）（12）得：vC2=

1

3

2gR

（舍去） vC2=-

2gR

 vD2=-

2

3

2gR

（舍去） v_D2=0
综上所述：当N为奇数：vC=

1

3

2gR

（向右） vD=

2

3

2gR

  当N为偶数时：vC=

2gR

（向右） v_D=0
答：（1）弹簧锁定解除前瞬间，D、C速度大小是

2gR

3

（2）弹簧锁定解除后，C第一次滑上轨道右侧圆弧部分的轨迹所对的圆心角是90°
（3）弹簧锁定解除后，若C、D（含弹簧）每次碰撞均在水平面，当N为奇数时，CD的速度分别为

1

3

2gR

（向右）

2

3

2gR

当N为偶数CD的速度分别为

2gR

（向右）  v_D=0．

点评：分析清楚A、B、C的运动过程，选择不同的过程应用动量守恒定律和机械能守恒定律，即可正确解题．