Question

一个圆柱形的竖直的井里存有一定量的水，井的侧面和底部是密闭的，在井口固定地插着一根两端开口的薄壁圆管，管和井共轴，管下端未触及井底.在圆管内有一不漏气的活塞，它可沿圆管上下滑动.开始时，管内外水面相齐，且活塞恰好接触水面，如图7-7所示.现用卷扬机通过绳子对活塞施加一个向上的力F，使活塞缓慢向上移动.已知管筒半径r=0.100 m，井的半径R=2r，水的密度ρ=1.00×10³ kg/m³，大气压p₀=1.00×10⁵ Pa.求活塞上升H=9.00 m的过程中拉力F所做的功.(井和管在水面以上及水面以下的部分都足够长，不计活塞质量，不计摩擦，重力加速度g取10 m/s²)

图7-7

Answer 1

解析：由于井内水量一定，那么若圆管中的水面升高，则管外水面必然要下降.如果管中水面随着活塞上升9 m，根据面积关系，可知管外水面要下降3 m，则水面高度差为12 m，而大气压强只能支持h₀= =10 m高的水柱，由此可判断出管中水面上方出现真空.进一步可算出管中水面升高h₁=7.5 m，管外水面下降h₂=2.5 m，再根据功能关系很容易求出拉力F所做的功.可把活塞上升H=9.00 m的过程分为两段，第一段是活塞移动距离从0到h₁的过程，第二段是活塞移动距离从h₁到H的过程.

    在第一段过程中，拉力F随着管中水的增加而增大，应根据功和能的关系求拉力的功.在这一过程中，对于活塞和水这个整体，其机械能的增量应等于除重力以外其他力所做的功.

因为始终无动能，并且活塞质量不计，所以整体机械能的增量也就等于水的重力势能的增量

ΔE，由图7-8知，ΔE=ρ(πr²h₁)g=1.00×10³×3.14×0.100²×7.5×10× J=1.18×10⁴ J

图7-8

    重力以外的其他力有管内外的大气压力和拉力F.由于管外水下降的体积h₂S₂等于管中水上升的体积h₁S₁，所以大气压力对管外水做的正功p₀S₂h₂与大气压力对活塞做的负功p₀S₁h₁绝对值相等，大气压力所做总功为零.故重力以外的力只有拉力做功，由功能关系知W₁=ΔE=1.18×10⁴ J

    第二段，在活塞从h₁升高到H的过程中，液面不变，F为恒力，它与作用在活塞上向下的大气压力平衡，所以F=p₀πr²=1.00×10⁵×3.14×0.100² N=3.14×10³ N

     拉力做的功为W₂=F(H-h₁)=3.14×10³×1.5 J=4.71×10³ J

    所求拉力F所做的总功为 

    W=W₁+W₂=1.18×10⁴ J+4.71×10³ J=1.65×10⁴ J.

答案：1.65×10⁴ J