Question

如图所示，水平桌面上有一轻弹簧，左端固定在A点，自然状态时其右端位于B点．水平桌面右侧有一竖直放置的光滑轨道MNP，其形状为半径R=0.8m的圆环剪去了左上角135°的圆弧，MN为其竖直直径，P点到桌面的竖直距离也是R．用质量m₁=0.4kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点，释放后弹簧恢复原长时物块恰停止在B点．用同种材料、质量为m₂=0.2kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点释放，物块过B点后其位移与时间的关系为x=6t-2t²，物块飞离桌面后由P点沿切线落入圆轨道．g=10m/s²，求：

（1）BP间的水平距离．
（2）判断m₂能否沿圆轨道到达M点．
（3）释放后m₂运动过程中克服摩擦力做的功．

Answer 1

分析：（1）物块飞离桌面后由P点沿切线落入圆轨道，在此过程中做平抛运动，根据高度求出物块在P点竖直方向上的分速度，结合平行四边形定则求出平抛运动的初速度，从而求出平抛运动的水平位移．物块过B点后其位移与时间的关系为x=6t-2t²，知物块做初速v₀=6m/s，加速度a=-4m/s²的匀减速直线运动，根据速度位移公式求出BD的距离，从而得出BP间的水平距离．
（2）对D到M运用动能定理，结合牛顿第二定律求出在M点轨道对物块的作用力，通过作用力的正负判断是否能到达M点．
（3）用质量m₁=0.4kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点，释放后弹簧恢复原长时物块恰停止在B点，知弹性势能全部克服阻力做功，用同种材料、质量为m₂=0.2kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点释放，通过B点的速度，结合能量守恒得出弹性势能的大小．对m₂从C到D点研究，根据能量守恒求出克服摩擦力做功的大小．

解答：解：（1）设物块由D点以初速v_D做平抛运动，
由公式R=

1

2

gt²和v_y=gt可知物块落到P点时其竖直速度为：
vy=

2gR

又知：

vy

vD

=tan45°
代入数据联立解得：v_D=4m/s
平抛用时为t，水平位移为s，则：R=

1

2

gt2，s=v_Dt，
解得：s=2R=1.6m．
由公式x=6t-2t²可知物块在桌面上过B点后以初速v₀=6m/s、加速度a=-4m/s²减速到v_D，
BD间位移为：s1=

v02-vD2

2a

=

36-16

2×4

m=2.5m
则BP水平间距为：s+s₁=1.6+2.5m=4.1m
（2）若物块能沿轨道到达M点，其速度为v_M，则：

1

2

m2vM2=

1

2

m2vD2-

2

2

m2gR
轨道对物块的压力为F_N，则：FN+m2g=m2

vM2

R

解得：FN=(1-

2

)m2g＜0
即物块不能到达M点
（3）设弹簧长为AC时的弹性势能为E_P，物块与桌面间的动摩擦因数为μ，
释放m₁时，E_p=μm₁gs_CB
释放m₂时，Ep=μm2gsCB+

1

2

m2v02
且m₁=2m₂，可得Ep=m2v02=7.2J
m₂在桌面上运动过程中克服摩擦力做功为W_f，
则：Ep=Wf+

1

2

m2vD2
可得W_f=5.6J      
答：（1）BP间的水平距离为4.1m．
（2）m₂不能沿圆轨道到达M点．
（3）释放后m₂运动过程中克服摩擦力做的功为5.6J．

点评：本题综合考查了动能定理、牛顿第二定律、能量守恒定律，涉及到直线运动、平抛运动和圆周运动，综合性较强，关键是理清物块的运动情况，选择合适的规律进行求解．