Question

(25分)如图所示，两个金属轮A₁、A₂，可绕通过各自中心并与轮面垂直的固定的光滑金属轴O₁和O₂转动，O₁和O₂相互平行，水平放置.每个金属轮由四根金属辐条和金属环组成，A₁轮的辐条长为a₁、电阻为R₁，A₂轮的辐条长为a₂、电阻为R₂，连接辐条的金属环的宽度与电阻都可以忽略.半径为a₀的绝缘圆盘D与A₁同轴且固连在一起.一轻细绳的一端固定在D边缘上的某点，绳在D上绕足够匝数后，悬挂一质量为m的重物P.当P下落时，通过细绳带动D和A₁绕O₁轴转动.转动过程中，A₁、A₂保持接触，无相对滑动；两轮与各自细轴之间保持良好的电接触；两细轴通过导线与一阻值为R的电阻相连.除R和A₁、A₂两轮中辐条的电阻外，所有金属的电阻都不计.整个装置处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向与转轴平行.现将P释放，试求P匀速下落时的速度.

Answer 1

解析：

P被释放后，细绳的张力对D产生机械力矩，带动D和A₁作逆时针的加速转动.通过两个轮子之间无相对运动的接触，A₁带动A₂作顺时针的加速转动.由于两个轮子的辐条切割磁场线，所以在A₁产生由周边沿辐条指向轴的电动势，在A₂产生由轴沿辐条指向周边的电动势，经电阻R构成闭合电路.A₁、A₂中各辐条上流有沿电动势方向的电流，在磁场中辐条受到安培力.不难看出，安培力产生的电磁力矩是阻力矩，使A₁、A₂加速转动的势头减缓.A₁、A₂从起始的静止状态逐渐加速转动，电流随之逐渐增大，电磁阻力矩亦逐渐增大，直至电磁阻力矩与机械力矩相等，D、A₁和A₂停止作加速转动，均作匀角速转动，此时P匀速下落，设其速度为v，则A₁的角速度

　　　　(1)

　　A₁带动A₂转动，A₂的角速度ω₂与A₁的角速度ω₁之间的关系为

　　ω₁a₁=ω₂a₂　　(2)

　　A₁中每根辐条产生的感应电动势均为

　　　　(3)

　　轴与轮边之间的电动势就是A₁中四条辐条电动势的并联，其数值见(3)式.

　　同理，A₂中，轴与轮边之间的电动势就是A₂中四条辐条电动势的并联，其数值为

　　　　(4)

　　A₁中，每根辐条的电阻为R₁，轴与轮功之间的电阻是A₁中四条辐条电阻的并联，其数值为    　　(5)

　　A₂中，每根辐条的电阻为R₂，轴与轮功之间的电阻是A₂中四条辐条电阻的并联，其数值为    　　(6)

　　A₁轮、A₂轮和电阻R构成串联回路，其中的电流为

　　　　(7)

　　以(1)至(6)式代入(7)式，得

　　　　(8)

　　当P匀速下降时，对整个系统来说，重力的功率等于所有电阻的焦耳热功率之和，即

　　　　(9)

　　以(8)式代入(9)式得

　　　　(10)

　　评分标准：(本题25分)

　　(1)、(2)式各2分，(3)、(4)式各3分，(5)、(6)、(7)式各2分，(9)式6分，(10)式3分.