Question

11．如图所示，倾角为θ 的绝缘斜面上有一质量（全部集中在cd边，其他边质量不计）为m的正方形线圈，线圈的边长为L，每条边的电阻均为R．ABCD是矩形匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，磁场的方向垂直于斜面向上（图中未画出）．AB和CD之间的距离为L，CD和PQ之间的距离 为2.5L．CD上方斜面是光滑的，CD下方斜面是粗糙的，且线圈与斜面间的动摩擦因数为μ．线圈abcd从图示位置由静止开始下滑，cd边进入磁场时线框所受合力恰好为0，重力加速度为g．
（1）求线圈刚进入磁场时的速度大小；
（2）求从线圈进入磁场到cd边刚好达到CD位置，穿过线圈某横截面的电荷量；
（3）若线圈的cd边到达PQ位置时，线圈的瞬时速度为v，求线圈通过磁场的过程中，产生的焦耳热．

Answer 1

分析 （1）cd边进入磁场时合力为零，根据平衡得出安培力的大小，结合切割产生的感应电动势公式、欧姆定律和安培力的表达式求出线圈刚进入磁场的速度．
（2）根据法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律以及电流的定义式求出穿过线圈某横截面的电荷量．
（3）根据能量守恒求出线圈通过磁场的过程中，产生的焦耳热．

解答 解：（1）在进入磁场的过程中，产生的感应电动势为：E=BLv₀，
则电路中的感应电流为：I=$\frac{E}{4R}$，
线框所受安培力为：F_安=BIL，
且由平衡条件得：F_安=mgsinθ，
解得：${v}_{0}=\frac{4mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
（2）线框进入磁场的过程中平均感应电动势为：E=$\frac{△Φ}{△t}$，
平均感应电流为：I=$\frac{E}{4R}$，
则有：q=I△t=$\frac{△Φ}{4R}$=$\frac{B{L}^{2}}{4R}$．
（3）从开始下滑到滑至底端由能量守恒定律得：$mg（L+2.5L）sinθ+\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$=Q+2.5μmgLcosθ+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
解得：Q=$\frac{7mgLsinθ}{2}+\frac{8{m}^{3}{g}^{2}si{n}^{2}θ}{{B}^{4}{L}^{4}}$$-\frac{5}{2}μmgLcosθ$-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$．
答：（1）线圈刚进入磁场时的速度大小为$\frac{4mRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）穿过线圈某横截面的电荷量为$\frac{B{L}^{2}}{4R}$；
（3）线圈通过磁场的过程中，产生的焦耳热为$\frac{7mgLsinθ}{2}+\frac{8{m}^{3}{g}^{2}si{n}^{2}θ}{{B}^{4}{L}^{4}}$$-\frac{5}{2}μmgLcosθ$-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$．

点评 本题考查电磁感应规律与电路结合问题的分析，要注意明确分析物理过程，掌握平衡条件的应用，同时注意利用平均电动势和平均电流求解通过导体截面的电荷量．