Question

如图所示，在直角坐标系xoy的第二象限中，有方向沿x轴正向的匀强电场E₁，在第一象限中，边界OM和x轴之间有场强为E₂的匀强电场，方向与边界OM平行；边界OM和y轴之间有场强为B的匀强磁场，方向与纸面垂直（边界OM和x轴之间的夹角θ=45°）．坐标系中有a、b、c、d四点，其坐标分别为（-L，0）、（0，2L）、（2L，2L）、（2L，0）．现有一质量为m、电荷量为q的带电粒子（不计重力），由a点以v₀的初速度（方向沿y轴正向）射入电场，依次经过b点和c点，最后通过d点．求：
（1）E₁的大小；
（2）B的大小和方向；
（3）c、d两点的电势差．

Answer 1

分析：（1）粒子在匀强电场中根据电场力提供合力使其做类平抛运动，由牛顿第二定律，结合运动学公式从而即可求解；
（2）由几何关系可确定OD的距离，再由运动的分解可列出速度间的关系式，最后由运动轨迹的半径与周期公式，借助于已知长度，来确定磁场大小；
（3）粒子在匀强电场中E ₂中仍然做做类平抛运动，根据运动的轨迹确定沿电场方向的位移和垂直于电场方向的位移，然后根据运动学的公式求出电场强度，最后根据U=Ed计算出cd之间的电势差．

解答：解：（1）粒子从a运动到b做类平抛运动，设所用时间为t₁，加速度为a₁，则由运动规律和牛顿第二定律有：
竖直方向：2L=v₀t₁
水平方向：L=

1

2

a1

t

2 1

           a1=

qE1

m

解得　E1=

m v 2 0

2qL

（2）设粒子通过b点时的速率为v_b，
由动能定理得：

1

2

m

v

2 b

-

1

2

m

v

2 0

=qE1?L
得vb=

2

v 0
与竖直方向 夹角：cosθ=

v0

2 v0

=

2

2

得θ=45°
粒子由b点进入磁场后做匀速圆周运动，
做过b点的速度的垂线，和bc的垂直平分线，确定圆心如图，可知粒子垂直进入电场E₂，由几何关系可得圆轨道的半径 r=

2

L
∵qvbB=m

v 2 b

r

，
∴B=

mv0

qL

方向垂直纸面向外　　　
（3）粒子由c点进入电场E₂后做类平抛运动，设所用时间为t₂，加速度为a₂，则由运动规律和牛顿第二定律有：

2

L=

2

v0t2          

2

L=

1

2

a2

t

2 2

           a2=

qE2

m

解得　E2=

2 2 m v 2 0

qL

c、d两点的电势差：Ucd=E2?

2

L=

4m v 2 0

q

答：（1）E₁的大小

m v 2 0

2qL

；
（2）B的大小

mv0

qL

，方向垂直纸面向外；
（3）c、d两点的电势差

4m v 2 0

q

．

点评：粒子做类平抛时，由牛顿第二定律与运动学公式相结合来综合运用；在做匀速圆周运动时，由半径公式与几何关系来巧妙应用，从而培养学生在电学与力学综合解题的能力．注意区别磁场的圆形与运动的轨迹的圆形的半径不同．