Question

（2009?江苏模拟）如图（A）所示，固定于水平桌面上的金属架cdef，处在一竖直向下的匀强磁场中，磁感强度的大小为B₀，金属棒ab搁在框架上，可无摩擦地滑动，此时adeb构成一个边长为l的正方形，金属棒的电阻为r，其余部分的电阻不计．从t=0的时刻起，磁场开始均匀增加，磁感强度变化率的大小为k（k=

△B

△t

）．求：

（1）用垂直于金属棒的水平拉力F使金属棒保持静止，写出F的大小随时间 t变化的关系式．
（2）如果竖直向下的磁场是非均匀增大的（即k不是常数），金属棒以速度v₀向什么方向匀速运动时，可使金属棒中始终不产生感应电流，写出该磁感强度B_t随时间t变化的关系式．
（3）如果非均匀变化磁场在0-t₁时间内的方向竖直向下，在t₁-t₂时间内的方向竖直向上，若t=0时刻和t₁时刻磁感强度的大小均为B₀，且adeb的面积均为l²．当金属棒按图（B）中的规律运动时，为使金属棒中始终不产生感应电流，请在图（C）中示意地画出变化的磁场的磁感强度B_t随时间变化的图象（t₁-t₀=t₂-t₁＜

l

v

）．

Answer 1

分析：（1）根据法拉第电磁感应定律求出感应电动势的大小，结合闭合电路欧姆定律求出感应电流的大小，抓住外力F与安培力相等求出外力F与时间的关系式．
（2）要使金属棒中不产生感应电流，抓住回路中的磁通量变化量为零，求出磁感应强度随时间的变化的关系式．
（3）抓住磁通量变化量为零，得出磁感应强度的表达式，从而得出磁感应强度随t的变化图象．

解答：解：（1）ε=

△φ

△t

=

△B

△t

S=kl²          I=

ε

r

=

kl2

r

       
因为金属棒始终静止，在t时刻磁场的磁感强度为B_t=B₀+kt，所以
F_外=F_A=BIl=（ B₀+kt ）

kl2

r

l=B₀ 

kl3

r

+

k2l3

r

t        方向向右     
（2）根据感应电流产生的条件，为使回路中不产生感应电流，回路中磁通量的变化应为零，
因为磁感强度是逐渐增大的，所以金属棒应向左运动（使磁通量减小）  
即：△φ=0，即△φ=B_tS_t-B₀S₀，
也就是  B_t l（l-vt ）=B₀l²    
得     B_t=

B0l

l-vt

                 
（3）如果金属棒的右匀速运动，因为这时磁感强度
是逐渐减小的，同理可推得，
B_t=

B0l

l+vt

．                   
所以磁感强度随时间变化的图象如右图（t₂时刻B_t不为零）
答：（1）F的大小随时间 t变化的关系式为B₀

kl3

r

+

k2l3

r

t．
（2）磁感强度B_t随时间t变化的关系式 B_t=

B0l

l-vt

．
（3）如图所示．

点评：本题根据法拉第电磁感应定律求解感应电动势，由欧姆定律和安培力公式推导安培力的表达式，是常用的方法和思路．当回路中没有感应电流产生时，回路总的磁通量应保持不变．