Question

如图所示，竖直平面内的轨道ABCD由水平轨道AB与光滑的四分之一圆弧轨道CD组成，AB恰与圆弧CD在C点相切，轨道固定在水平面上．一个质量为m的小物块（可视为质点）从轨道的A端以初动能E冲上水平轨道AB，沿着轨道运动，由DC弧滑下后停在水平轨道AB的中点．已知水平轨道AB长为L．求：
（1）小物块与水平轨道的动摩擦因数μ．
（2）为了保证小物块不从轨道的D端离开轨道，圆弧轨道的半径R至少是多大？
（3）若圆弧轨道的半径R取第（2）问计算出的最小值，增大小物块的初动能，使得小物块冲上轨道后可以达到最大高度是1.5R处，试求物块的初动能并分析物块能否停在水平轨道上．如果能，将停在何处？如果不能，将以多大速度离开水平轨道．

Answer 1

分析：（1）在小物块运动的整个过程中，重力做功为0，摩擦力做负功-1.5μmgL，根据动能定理求解μ．
（2）小物块恰好不从轨道的D端离开轨道时，到达D点速度为零，由动能定理求出R．
（3）根据动能定理求解出小物块恰好冲上最大高度1.5R时的初动能E′，物块滑回C点时的动能E_C=1.5mgR，分析E_C与滑块从B到A克服摩擦力做功的大小关系，即可判断物块能否停在水平轨道上．并能根据动能定理求解滑块停止在轨道何处．

解答：解：（1）小物块最终停在AB的中点，在这个过程中，由动能定理得：-μmg（L+0.5L）=-E      
得：μ=

2E

3mgL

（2）若小物块刚好到达D处，速度为零，同理，有：-μmgL-mgR=-E
解得CD圆弧半径至少为：R=

E

3mg

 
（3）设物块以初动能E′冲上轨道，可以达到的最大高度是1.5R，由动能定理得：
-μmgL-1.5mgR=-E′
解得：E′=

7E

6

物块滑回C点时的动能为E_C=1.5mgR=

E

2

，由于E_C＜μmgL=

2E

3

，故物块将停在轨道上．
设到A点的距离为x，有-μmg（L-x）=-E_C
解得：x=

1

4

L 
即物块最终停在水平滑道AB上，距A点

1

4

L处．
答：（1）小物块与水平轨道的动摩擦因数μ为

2E

3mgL

．
（2）为了保证小物块不从轨道的D端离开轨道，圆弧轨道的半径R至少是

E

3mg

．
（3）物块最终停在水平滑道AB上，距A点

1

4

L处．

点评：本题是简单的多过程问题，要灵活选择研究的过程．要抓住滑动摩擦力做功与路程有关的特点．