Question

如图所示为我国“嫦娥一号”卫星从发射到进入月球工作轨道的过程示意图．在发射过程中，经过一系列的加速和变轨，卫星沿绕地球“48小时轨道”在抵达近地点P时，主发动机启动，“嫦娥一号”卫星的速度在很短时间内由v₁提高到v₂，进入“地月转移轨道”，开始了从地球向月球的飞越．“嫦娥一号”卫星在“地月转移轨道”上经过114小时飞行到达近月点Q时，需要及时制动，使其成为月球卫星．之后，又在绕月球轨道上的近月点Q经过两次制动，最终进入绕月球的圆形工作轨道I．已知“嫦娥一号”卫星质量为m₀，在绕月球的圆形工作轨道I上运动的周期为T，月球的半径r_月，月球的质量为m_月，万有引力恒量为G．

（1）求卫星从“48小时轨道”的近地点P进入”地月转移轨道”过程中主发动机对“嫦娥一号”卫星做的功（不计地球引力做功和卫星质量变化）；
（2）求“嫦娥一号”卫星在绕月球圆形工作轨道I运动时距月球表面的高度．

Answer 1

分析：（1）由嫦娥一号卫星沿绕地球“48小时轨道”在抵达近地点P时，主发动机启动，“嫦娥一号”卫星的速度在很短时间内由v₁提高到v₂，进入“地月转移轨道”，由于时间很短，故不考虑此阶段引力做的功，故由动能定理可以得到此过程发动机做的功．
（2）由于已知嫦娥一号在绕月球的圆形工作轨道I上运动的周期为T，月球的半径r_月，月球的质量为m_月，万有引力恒量为G．由万有引力充当向心力的周期公式可以得到卫星离地高度．

解答：解：
（1）由嫦娥一号卫星沿绕地球“48小时轨道”在抵达近地点P时，主发动机启动，“嫦娥一号”卫星的速度在很短时间内由v₁提高到v₂，进入“地月转移轨道”，故有动能定理可得：
W=

1

2

m0

v

2 2

-

1

2

m0

v

2 1

此即为主发动机做的功．
（2）设离地高度为h，由万有引力充当向心力的周期公式：
G

m月m0

(r月+h)2

=m0(r月+h)

4π2

T2

解得：
h=

3	Gm月T2 4π2

-r月
答：
（1）主发动机做的功为：W=

1

2

m0

v

2 2

-

1

2

m0

v

2 1

，
（2）嫦娥一号的离地高度为：h=

3	Gm月T2 4π2

-r月

点评：重点是在求主发动机做功的时候，不要把引力做的功考虑进去，因为题目说了是很短时间，故引力做功不需要考虑．