Question

（2004?南通二模）如图为宇宙中有一个恒星系的示意图．A为星系的一颗行星，它绕中央恒星O运行的轨道近似为圆．天文学家观测得到A行星运动的轨道半径为R₀、周期为T₀．
（1）中央恒星O的质量为多大？
（2）经长期观测发现，A行星实际运动的轨道与圆轨道总存在一些偏离，且周期性地每隔时间t₀发生一次最大的偏离．天文学家认为形成这种现象的原因可能是A行星外侧还存在着一颗未知的行星B（假设其运行轨道与A在同一水平面内，且与A的绕行方向相同），它对A行星的万有引力引起A轨道的偏离（由于B对A的吸引而使A的周期引起的变化可以忽略）根据上述现象及假设，试求未知行星B的运动周期T及轨道半径R．

Answer 1

分析：研究行星绕恒星做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式带有周期表达式，再根据已知量解出恒星质量；根据开普勒第三定律解得轨道半径．

解答：解：（1）设中央恒星质量为M，A行星质量为m
由万有引力提供向心力得：

GMm

R 2 0

=

m4π2R0

T2

   
 得：M=

4π2 R 3 0

G T 2 0

  
（2）每隔时间t₀发生一次最大的偏离，说明A、B每隔时间t₀有一次相距最近的情况，这时它们转过的角度相差1周（2π），所以有：

2π

T0

t0-

2π

T

t0=2π
解得：T=

t0T0

t0-T0

据开普勒第三定律：

R3

T2

=

R 3 0

T 2 0

得：R=(

t0

t0-T0

)

2

3

R0
答：中央恒星O的质量为M=

4π2 R 3 0

G T 2 0

；未知行星B的运动周期T=

t0T0

t0-T0

，及轨道半径R=(

t0

t0-T0

)

2

3

R0．

点评：从本题可以看出，通过测量环绕天体的轨道半径和公转周期，可以求出中心天体的质量．