Question

如图所示，用单位长度的电阻为r₀的均匀导线制作的矩形线框abcd的长ad为2l、宽cd为l，固定在与水平面成θ角的斜面上，长度大于l的导体棒MN平行于ab边放置在矩形线框上紧靠ab边的位置，导体棒质量为m，电阻不计．将线框abcd分成相等的两个区域Ⅰ、Ⅱ，在两区域内均加上垂直于斜面的匀强磁场，区域Ⅰ的磁感应强度为B₁，方向垂直于斜面向上，区域Ⅱ中磁场垂直于斜面向下．以a点为原点、ad方向为x正方向取坐标．
（1）导体棒MN下滑x1=

l

2

时速度为v₁，求此时导体棒MN的加速度a；
（2）当导体棒下滑x₂=l还未进入Ⅱ区的瞬间，加速度恰为零，求此时导体棒MN的速度v₂；
（3）若在区域Ⅱ所加磁场的磁感应强度的大小B₂=B₁，试判断导体棒进入区域Ⅱ后速度是增大、不变还是减小？若要保持导体棒的速度v₂不变，则B₂与x应存在怎样的关系？

Answer 1

分析：（1）对导体棒受力分析知，其受重力，支持力，安培力，三力作用下做匀加速直线运动，列牛顿第二定律方程可解得加速度
（2）由牛顿第二定律，加速度为零，则安培力与重力沿斜面分力平衡，由此可得此时的速度
（3）由楞次定律和左手定则可知，安培力仍沿斜面向上，可以假设速度保持不变，由（2）的结果可得速度的表达式，进而分析速度与变量x的关系，可确定速度的变化．若保持速度不变，由两次得到的速度表达式相等，可得B₂与x的关系．

解答：解：（1）设导体棒MN下滑的距离为x，导体棒下滑时受三个力如图所示，由牛顿第二定律得：mgsinθ-BIl=ma…①
I=

Blv

R

…②
线框abcd被导体棒MN分成并联的两部分，对MN两端的总电阻为：R=

(l+2x)r0(5l-2x)r0

6lr0

=

(l+2x)(5l-2x)r0

6l

…③
将x1=

l

2

时速度为v₁代入得：a=gsinθ-

3 B 2 1 lv1

4mr0

…④
（2）当导体棒的加速度为零时，由①得：I=

mgsinθ

Bl

…⑤
由②③代入x₂=l得：I=

6B1l2v2

(3l)2r0

…⑥
联立⑤⑥得：v2=

3mgr0sinθ

2 B 2 1 l

…⑦
（3）假设导体棒以速度v₂匀速运动，虽然磁感应强度方向与区域Ⅰ中相反，但由楞次定律和左手定则可知，安培力仍沿斜面向上，则：v2=

mgr0sinθ(l+2x)(5l-2x)

6 B 2 2 l3

…⑧
由于（l+2x）+（5l-2x）=6l为常量，因此当x=l时（l+2x）（5l-2x）最大，而式中x＞l，因此当x增大时（l+2x）（5l-2x）减小，若B₂=B₁不变，则速度一定减小，要保持速度不变，则由⑦⑧得：

3mgr0sinθ

2 B 2 1 l

=

mgr0sinθ(l+2x)(5l-2x)

6 B 2 2 l3

…⑨
解得：B2=

B1

3l

(l+2x)(5l-2x)

…⑩
答：（1）导体棒MN下滑x1=

l

2

时速度为v₁，求此时导体棒MN的加速度a=gsinθ-

3 B 2 1 lv1

4mr0

；
（2）当导体棒下滑x₂=l还未进入Ⅱ区的瞬间，加速度恰为零，此时导体棒MN的速度v2=

3mgr0sinθ

2 B 2 1 l

；
（3）若在区域Ⅱ所加磁场的磁感应强度的大小B₂=B₁，试判断导体棒进入区域Ⅱ后速度减小，若要保持导体棒的速度v₂不变，则B₂与x关系为：B2=

B1

3l

(l+2x)(5l-2x)

点评：本题比较综合，要掌握好闭合电路欧姆定律，楞次定律，安培定则，另外要求数学分析能力比较强，是一个难度比较大的题目．适合提高技能的学生．