Question

如图所示，矩形裸导线框长边的长度为2l，短边的长度为l，在两个短边上均接有电阻R，其余部分电阻不计．导线框一长边与x轴重合，左边的坐标x=0，线框内有一垂直于线框平面的磁场，磁场的磁感应强度满足关系B=B₀sin（

πx

2l

）．一光滑导体棒AB与短边平行且与长边接触良好，电阻也是R．开始时导体棒处于x=0处，从t=0时刻起，导体棒AB在沿x方向的力F作用下做速度为v的匀速运动，求：
（1）导体棒AB从x=0到x=2l的过程中力F随时间t变化的规律；
（2）导体棒AB从x=0到x=2l的过程中回路产生的热量．

Answer 1

分析：（1）根据切割产生的感应电动势公式，结合闭合电路欧姆定律求出感应电流的大小，抓住拉力与安培力相等求出拉力F随时间t的变化规律．
（2）电路中产生的感应电流为交变电流，求出感应电动势的有效值，从而求出导体棒AB从x=0到x=2l的过程中回路产生的热量．

解答：解：（1）在t时刻AB棒的坐标为x=vt①
感应电动势    e=Blv=B0lvsin

πvt

2l

②
回路总电阻    R总=R+

1

2

R=

3

2

R③
回路感应电流  i=

e

R总

=

2B0lvsin πvt 2l

3R

④
棒匀速运动    F=F_安=Bil                  ⑤
解得：F=

2 B 2 0 l2vsin( πvt 2l )

3R

(0≤t≤

2l

v

)⑥
（2）导体棒AB在切割磁感线过程中产生半个周期的正弦交流电
感应电动势的有效值为   E=

2

2

B0lv⑦
回路产生的电热         Q=

E2

R总

t⑧
通电时间               t=

2l

v

⑨
解得：Q=

2 B 2 0 l3v

3R

⑩
答：（1）导体棒AB从x=0到x=2l的过程中力F随时间t变化的规律为F=

2 B 2 0 l2vsin( πvt 2l )

3R

(0≤t≤

2l

v

)．
（2）导体棒AB从x=0到x=2l的过程中回路产生的热量Q=

2 B 2 0 l3v

3R

．

点评：解决本题的关键知道产生的感应电流为交变电流，求解热量电动势应该用有效值．