Question

天文工作者观测某行星的半径为R₁，自转周期为T₁，它有一颗卫星，轨道半径为R₂，绕行星公转周期为T₂．
则（1）该行星的平均密度为多大？
（2）要在此行星的赤道上发射一颗同步人造卫星，使其轨道在赤道上方，则该人造卫星的轨道半径为多大？

Answer 1

分析：1、根据万有引力提供卫星圆周运动的向心力，可以列式求出行星的质量M，进一步求其密度；
2、该行星的同步卫星的周期与该行星的自转周期相同，根据万有引力提供向心力及速度与周期的关系式，以及第一问中求出行星质量M，化简可得该人造卫星的轨道半径．

解答：解：（1）设该行星的质量为M，卫星的质量为m，则对卫星 有：
  G

Mm

R 2 2

=m(

2π

T2

)2R2 ①
又行星的体积为 V=

4

3

π

R

3 1

 ②
所以该行星的平均密度为 ρ=

M

V

=

3π R 3 2

G T 2 2 R 3 1

 ③
（2）设该卫星的同步人造卫星的轨道半径为r，有
   G

Mm′

r2

=m′(

2π

T1

)2r ④
所以由①④得，该人造卫星的轨道半径r=

3	T 2 1 T 2 2 ?

R．
答：
（1）该行星的平均密度为

3π R 3 2

G T 2 2 R 3 1

（2）要在此行星的赤道上发射一颗同步人造卫星，使其轨道在赤道上方，则该人造卫星的轨道半径为

3	T 2 1 T 2 2

?R．

点评：解决本题的关键是根据万有引力提供向心力、同步卫星的条件：同步卫星的周期等于行星的自转周期，即可进行求解．