Question

一个质量为M的雪橇静止在水平雪地上，一条质量为m的爱斯基摩狗站在雪橇上．狗向雪橇的正后方跳下，随后又追赶并向前跳上雪橇；其后狗又反复地跳下、追赶并跳上雪橇．狗与雪橇始终沿一条直线运动．若狗跳离雪橇时雪橇的速度为V，则此时狗相对于地面的速度为V＋u(其中u为狗相对于雪橇的速度，V＋u为代数和，若以雪橇运动的方向为正方向，则V为正值，u为负值．)设狗总以速度v追赶和跳上雪橇，雪橇与雪地间的摩擦忽略不计．已知v的大小为5 m/s，u的大小为4 m/s，M＝30 kg，m＝10 kg．

(1)求狗第一次跳上雪橇后两者的共同速度的大小．

(2)求雪橇最终速度的大小和狗最多能跳动上雪橇的次数．

(供使用但不一定用到的对数值：lg2＝0.301，lg3＝0.477)

Answer 1

答案：
解析：

(1)设雪橇运动的方向为正方向，狗第1次跳下雪橇后雪橇的速度为V1，根据动量守恒定律，有 　　狗第1次跳上雪橇时，雪橇与狗的共同速度为满足 　　可解得 　　将u＝－4 m/s，v＝5 m/s，M＝30 kg，m＝10 kg代入，得＝2 m/s 　　(2)解法(一) 　　设雪橇运动的方向为正方向，狗第(n－1)次跳下雪橇后雪橇的速度为，则狗第(n－1)次跳上雪橇后的速度为满足 　　这样，狗n次跳下雪橇后，雪橇的速度为Vn，满足 　　解得 　　狗追不上雪橇的条件是Vn≥v 　　可化为 　　最后可求得n≥1＋ 　　代入数据，得n≥3.41 　　狗最多能跳上雪橇3次． 　　雪橇最终的速度大小为V4＝5.625 m/s 　　解法(二)： 　　设雪橇运动的方向为正方向，狗第i次跳下雪橇后，雪橇的速度为Vi，狗的速度为；狗第i 次跳上雪橇后，雪橇和狗的共同速度为，由动量守恒定律可得 　　第一次跳下雪橇： 　　 　　第一次跳上雪橇： 　　第二次跳下雪橇： 　　第三次跳下雪橇：， 　　第三次跳上雪橇 　　第四次跳下雪橇： 　　此进雪橇的速度已大于狗追赶的速度，狗将不可能追上雪橇．因此狗最多能跳上雪橇3次，雪橇最终的速度大小为5.625 m/s．