Question

如图所示，半径为R的

1

4

光滑圆弧轨道竖直放置，下端恰与金属板上表面平滑连接．金属板置于水平地面上，板足够长，质量为5m，均匀带正电q；现有一质量为m的绝缘小滑块（可视为质点），由轨道顶端无初速释放，滑过圆弧轨道后滑到金属板上．空间存在竖直向上的匀强电场，场强E=

6mg

q

；已知滑块与金属板上表面、金属板与地面间的动摩擦因数均为μ；重力加速度为g．试求：

（1）滑块滑到圆弧轨道末端时的速度v₀；
（2）金属板在水平地面上滑行的最终速度v；
（3）若从滑块滑上金属板时开始计时，电场存在的时间为t，求电场消失后，金属板在地面上滑行的距离s与t的关系．

Answer 1

分析：（1）滑块在圆弧轨道上滑动过程，只有重力做功，机械能守恒，运用机械能守恒定律求解滑块滑到圆弧轨道末端时的速度v₀；
（2）滑块滑上金属板瞬间，分析金属板的受力情况：金属板竖直上受力 F=qE=6mg=（m+5m）g，可知板不受地面摩擦力，滑块与金属板组成的系统动量守恒，即可由动量守恒求解金属板在水平地面上滑行的最终速度v．
（3）若从滑块滑上金属板时开始计时，先由运动学公式和牛顿第二定律求出末滑块与金属板恰好共速所经历的时间，再根据时间范围分析滑块与金属的运动情况，运用动能定理和牛顿第二定律、运动学公式求解．

解答：解：（1）滑块滑到轨道末端，有mgR=

1

2

m

v

2 0

可得，滑块速度为 v₀=

2gR

 
（2）滑块滑上金属板瞬间，金属板竖直上受力 F=qE=6mg=（m+5m）g，可知板不受地面摩擦力，滑块与金属板组成的系统动量守恒．
 mv₀=（m+5m）v
可得金属板在水平地面上滑行的最终速度为 v=

1

6

v₀=

2gR

6

（3）设ts末滑块与金属板恰好共速，则对滑块，有
 v-v₀=at 
又-μmg=ma
可得运动时间 t=

5 2gR

6μg

①当t≥

5 2gR

6μg

时，滑块和金属板一起向右匀减速运动至静止，有
-μ（m+5m）gs=0-

1

2

（m+5m）v²
则可得金属板滑行距离 s=

R

36μ

②当0＜t＜

5 2gR

6μg

时，电场消失时，滑块与金属板未共速，则此时对金属板有
 v′=

μmg

5m

t=

μg

5

t
ts后电场消失，金属板水平方向上受力减速-μ（m+5m）g+μmg=5ma′，得：a′=-μg，
又滑块此时速度大于板，加速度则与板相同．可知板先减速至速度为0后静止
对金属板，有  2a′s=0-v′²
可得金属板滑行距离 s=

μg

50

t2
综上所述，当0＜t＜

5 2gR

6μg

时，电场消失后金属板滑行距离 s=

μg

50

t2；
当t≥

5 2gR

6μg

时，电场消失后金属板滑行距离s=

R

36μ

答：
（1）滑块滑到圆弧轨道末端时的速度v₀为

2gR

． 
（2）金属板在水平地面上滑行的最终速度v为

2gR

6

；
（3）电场消失后，金属板在地面上滑行的距离s与t的关系为当0＜t＜

5 2gR

6μg

时，电场消失后金属板滑行距离 s=

μg

50

t2；当t≥

5 2gR

6μg

时，电场消失后金属板滑行距离s=

R

36μ

．

点评：本题是复杂的力学综合题，分析滑块和金属板的受力情况，确定出它们的运动情况是解题的基础，再从力和能两个角度进行求解．