Question

如图甲所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场．匀强磁场分为Ⅰ、Ⅱ两个区域，其边界为MN、PQ，磁感应强度大小均为B，方向如图所示，Ⅰ区域高度为d，Ⅱ区域的高度足够大．一个质量为m、电荷量为q的带正电的小球从磁场上方的O点由静止开始下落，进入电、磁复合场后，恰能做匀速圆周运动．（已知重力加速度为g）
（1）求电场强度E的大小；
（2）若带电小球运动一定时间后恰能回到O点，求带电小球释放时距MN的高度h；
（3）若带电小球从距MN的高度为3h的O′点由静止开始下落，为使带电小球运动一定时间后仍能回到O′点，需将磁场Ⅱ向下移动一定距离y（如图乙所示），求磁场Ⅱ向下移动的距离y及小球从O′点释放到第一次回到O′点的时间T．

Answer 1

分析：（1）带电小球恰能做匀速圆周运动，则小球所受重力与电场力相等，由此可以求出电场强度．
（2）小求组在混合场中做匀速圆周运动，速率不变，只有小球从进入磁场的位置离开磁场，然后做竖直上抛运动，才有可能回到出发点，由动能定理、牛顿第二定律可以求出释放点的高度．
（3）作出粒子的运动轨迹，作用动能定理、牛顿第二定律、运动学公式，分别求出各阶段的运动时间，然后求出粒子运动的总时间．

解答：解：（1）小球做匀速圆周运动，则mg=qE，电场强度E=

mg

q

；
（2）小球从进入磁场的位置离开磁场，才可能回到出发点，
小球运动轨迹如图所示；由几何知识得：轨道半径R=

2 3

3

d，
小球下落过程中，由动能定理得：mgh=

1

2

mv²-0，
由牛顿第二定律得：qvB=m

v2

R

，解得：h=

2d2q2B2

3gm2

；
（3）当带电小球从距MN距离为3h处由静止下落时：
运动轨迹如图所示，由几何知识可得：R₁=2d，
由动能定理得：mg?3h=

1

2

mv₁²-0，
由牛顿第二定律得：qv₁B=m

v 2 1

R1

，
粒子在中间运动运动过程中，粒子速度方向与竖直方向成30度角，
由几何知识可得：y=（6-2

3

）d，
粒子自由落体与竖直上升的总时间t₁=2

2×3h g

=4

dqB

mg

，
粒子做圆周运动的时间t₂=

5πm

3qB

，
粒子做运动运动的总时间t₃=2

(4 3 -4)d

v1

，
一个来回的总时间T=t₁+t₂+t₃=

4dqB

mg

+

5πm

3qB

+

4( 3 -1)m

qB

；
答：（1）电场强度为

mg

q

；
（2）小球释放时距MN的高度为

2d2q2B2

3gm2

；
（3）带电粒子的运动时间为

4dqB

mg

+

5πm

3qB

+

4( 3 -1)m

qB

．

点评：本题是一道难题，分析清楚粒子的运动过程、作出粒子运动轨迹，熟练应用动能定律、牛顿第二定律、数学知识即可正确解题．