Question

 (21分）如图所示，将一端带有半圆形光滑轨道的凹槽固定在水平面上，凹槽的水平部分AB粗糙且与半圆轨道平滑连接,AB长为2L。圆轨道半径为。凹槽的右端固定一原长为L的轻质弹簧P1，P1的左端与长为L质量为2m的圆筒相接触，但不栓接。圆筒内部右端栓接一完全相同的弹簧P2，用直径略小于圆筒内径、质量为m的小球将弹簧P2压缩，再用销钉K将小球锁定在圆筒内（小球与P2不栓接）。球与圆筒内壁间的动摩擦因数为u，圆筒与凹槽水平部分间的动摩擦因数为2u。用圆筒将弹簧P1也压缩•，由静止释放，圆筒恰好不滑动。现将销钉K突然拔掉，同时对圆筒施加一水平向左的拉力，使圆筒向左做匀加速运动，到B点时圆筒被卡住立刻停止运动，小球沿半圆形轨道从C点水平抛出。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，小球可视为质点，圆筒壁的厚度忽略不计。

(1) 若小球通过半圆形轨道最高点C时，轨道对小球的压力是小球重力的3倍，求小球射出圆筒时的速度大小

(2) 若使圆筒运动到B点之前，弹簧P2长度不变，求拉力初始值的取值范围

(3) 若拉力的初始值为，且小球从C处平拋后，恰好未撞击圆筒，求圆筒从静止运动到B点过程中拉力所做的功

Answer 1

（21分）解：

（1）（6分）小球过最高点时，根据向心力公式 　………….2分

小球从B点到最高点C过程中机械能守恒　 　…………….2分

…………………………….2分

（2）（10分）由于筒恰好不动，对筒和小球： ……………………2分

拔掉销钉，设小球所允许的加速度最大值是,应有　　　

………………………2分

最小值是，应有　　　　　 　　　 ………………………2分

刚拔掉销钉时，对筒和小球：　　　　　　 …………………2分

且

以上解得：　　　　　　　　　　　　　　　　　　 15umg≤F≤21umg　　 ……………………………2分

（3）（5分）

拉力的初始值为，所以给定初始拉力仍在上问范围内，在运动到B点以前，弹簧P2的长度不变，设加速度为a₀，对整体：

18umg+kL/2－2u×3mg=3ma ₀ …………………………1分

到B处时，V_B²=2a₀L/2　

从C点平抛 L=V_Ct　 L/2=1/2gt²

从开始到小球运动到C点，对小球：

W₂－umgL/2－mgL/2=mVc²/2 – mV_B²/2

对筒和小球整体，从静止开始运动到B点，由功能关系得　

WF+W₁－2u×3mg×L/2=3mV_B²/2 ……………1分

而两弹簧相同，形变量相同，所以有W₁=W₂

联立以上解之得　　　

…………………………1分