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数学试题

(理工农医类)参考答案

一、选择题:本大题考查基本概念和基本运算,每小题5分,满分60分.

1.D      2.B       3.C       4.B       5.A      6.A      7.C       8.D      9.D      10.B

11.B     12.D

二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算,每小题4分,满分16分.

13.          14.          15.

16.答案不唯一,如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等.

三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17.本小题主要考查两角和差公式,用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力,满分12分.

解:(Ⅰ)

(Ⅱ)

边最大,即

最小,边为最小边.

.由得:

所以,最小边

18.本小题主要考查直线与平面的位置关系,二面角的大小,点到平面的距离等知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分12分.

解法一:(Ⅰ)取中点,连结

为正三角形,

正三棱柱中,平面平面

平面

连结,在正方形中,分别为

的中点,

在正方形中,

平面

(Ⅱ)设交于点,在平面中,作,连结,由(Ⅰ)得平面

为二面角的平面角.

中,由等面积法可求得

所以二面角的大小为

(Ⅲ)中,

在正三棱柱中,到平面的距离为

设点到平面的距离为

到平面的距离为

解法二:(Ⅰ)取中点,连结

为正三角形,

在正三棱柱中,平面平面

平面

中点,以为原点,的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系,则

平面

(Ⅱ)设平面的法向量为

为平面的一个法向量.

由(Ⅰ)知平面

为平面的法向量.

二面角的大小为

(Ⅲ)由(Ⅱ),为平面法向量,

      

       到平面的距离

19.本小题考查函数、导数及其应用等知识,考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力,满分12分.

解:(Ⅰ)分公司一年的利润(万元)与售价的函数关系式为:

      

(Ⅱ)

                 

       令(不合题意,舍去).

      

       在两侧的值由正变负.

       所以(1)当时,

      

(2)当时,

所以

答:若,则当每件售价为9元时,分公司一年的利润最大,最大值(万元);若,则当每件售价为元时,分公司一年的利润最大,最大值(万元).

20.本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识,考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法,考查运算能力和综合解题能力.满分14分.

解法一:(Ⅰ)设点,则,由得:

,化简得

(Ⅱ)设直线的方程为:

,又

联立方程组,消去得:

,故

得:

,整理得:

解法二:(Ⅰ)由得:

所以点的轨迹是抛物线,由题意,轨迹的方程为:

(Ⅱ)由已知,得

则:.…………①

过点分别作准线的垂线,垂足分别为

则有:.…………②

由①②得:,即

21.本小题考查数列的基本知识,考查等差数列的概念、通项公式与前项和公式,考查等比数列的概念与性质,考查化归的数学思想方法以及推理和运算能力.满分12分

解:(Ⅰ)由已知得

       故

       (Ⅱ)由(Ⅰ)得

       假设数列中存在三项(互不相等)成等比数列,则

       即

      

      

            

       与矛盾.

       所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列.

22.本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识,考查运用导数研究函数性质的方法,考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法,考查分析问题、解决问题的能力.满分14分.

解:(Ⅰ)由,所以

       由,故的单调递增区间是

       由,故的单调递减区间是

       (Ⅱ)由可知是偶函数.

       于是对任意成立等价于对任意成立.

       由

       ①当时,

       此时上单调递增.

       故,符合题意.

       ②当时,

       当变化时的变化情况如下表:










单调递减
极小值
单调递增

由此可得,在上,

依题意,,又

综合①,②得,实数的取值范围是

(Ⅲ)

 

由此得,