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13．已知实数
满足
则
的取值范围是________．
数学试题
(理工农医类)参考答案
一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算，每小题5分，满分60分．
1．D 2．B 3．C 4．B 5．A 6．A 7．C 8．D 9．D 10．B
11．B 12．D
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分．
13．
14．
15．
16．答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力，满分12分．
解：(Ⅰ)
，
．
又
，
．
(Ⅱ)
，
边最大，即
．
又
，
角
最小，
边为最小边．
由
且
，
得
．由
得：
．
所以，最小边
．
18．本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．满分12分．
解法一：(Ⅰ)取中点
，连结
．
为正三角形，
．
正三棱柱
中，平面
平面
，
平面．
连结
，在正方形
中，
分别为
的中点，
，
．
在正方形
中，
，
平面
．
(Ⅱ)设
与
交于点
，在平面中，作
于
，连结
，由(Ⅰ)得
平面．
，
为二面角
的平面角．
在
中，由等面积法可求得
，
又
，
．
所以二面角的大小为
．
(Ⅲ)
中，
，
．
在正三棱柱中，
到平面的距离为
．
设点
到平面的距离为
．
由
得
，
．
点到平面的距离为
．
解法二：(Ⅰ)取中点，连结．
为正三角形，．
在正三棱柱中，平面平面，
平面．
取
中点
，以为原点，
，
，
的方向为
轴的正方向建立空间直角坐标系，则
，
，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
．
平面．
(Ⅱ)设平面
的法向量为
．
，
．
，
，
令
得
为平面的一个法向量．
由(Ⅰ)知平面，
为平面的法向量．
，
．
二面角的大小为
．
(Ⅲ)由(Ⅱ)，
为平面法向量，
．
点到平面的距离
．
19．本小题考查函数、导数及其应用等知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力，满分12分．
解：(Ⅰ)分公司一年的利润
(万元)与售价
的函数关系式为：
．
(Ⅱ)
．
令
得
或
(不合题意，舍去)．
，
．
在两侧
的值由正变负．
所以(1)当
即
时，
．
(2)当
即
时，
，
所以
答：若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值
(万元)；若，则当每件售价为
元时，分公司一年的利润最大，最大值
(万元)．
20．本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力．满分14分．
解法一：(Ⅰ)设点
，则
，由
得：
，化简得
．
(Ⅱ)设直线
的方程为：
．
设
，
，又
，
联立方程组
，消去得：
，
，故
由
，
得：
，
，整理得：
，
，
．
解法二：(Ⅰ)由得：
，
，
，
．
所以点
的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：
．
(Ⅱ)由已知，，得
．
则：
．…………①
过点
分别作准线
的垂线，垂足分别为，
，
则有：
．…………②
由①②得：
，即
．
21．本小题考查数列的基本知识，考查等差数列的概念、通项公式与前
项和公式，考查等比数列的概念与性质，考查化归的数学思想方法以及推理和运算能力．满分12分
解：(Ⅰ)由已知得
，
，
故
．
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
．
假设数列
中存在三项
(
互不相等)成等比数列，则
．
即
．
，
．
与
矛盾．
所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列．
22．本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．满分14分．
解：(Ⅰ)由
得
，所以
．
由
得
，故
的单调递增区间是
，
由
得
，故的单调递减区间是
．
(Ⅱ)由
可知
是偶函数．
于是
对任意
成立等价于
对任意
成立．
由
得
．
①当
时，
．
此时在
上单调递增．
故
，符合题意．
②当
时，
．
当变化时
的变化情况如下表：
|
|
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
|
|
单调递减 |
极小值 |
单调递增 |
由此可得，在上，
．
依题意，
，又
．
综合①，②得，实数
的取值范围是
．
(Ⅲ)
，
，
，
由此得，
故
．