2009届江苏省苏北十校期末联考高三数学试题2009.1

必做题部分

(时间120分钟,满分160分)

一.填空题:本大题14小题,每小题5分,共70分.请将正确的答案填在答题纸上相应的横线上.

1. 若复数z满足（i是虚数单位），则z=__________.

2. 已知集合，，则            ．

3. 已知数列的前项和为，若，则       .

4. 已知，则       ．

5. 一组数据中每个数据都减去构成一组新数据，则这组新数据的平均数是，方差是，则原来一组数的方差为            .

6. 定义在R上的偶函数在上是增函数.若，则实数的取值范围是                .

7. 函数（常数）为偶函数，且在上是单调递减函数，则的值为_________.

8. 从集合中任取两个元素、（），则方程所对应的曲线表示焦点在轴上的双曲线的概率是 ­­­­­         ．

9. 已知为互相垂直的单位向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是____________.

10.若直线与圆相切，则实数的取值范围是　　　　　．

11. 定义：若对定义域上的任意实数都有，则称函数为上的零函数．根据以上定义，“是上的零函数或是上的零函数”为“与的积函数是上的零函数”的                   条件．

12. 已知为抛物线上一点，设到准线的距离为，到点的距离为，则的最小值为________.

13. 已知函数是偶函数，则函数图像与轴交点的纵坐标的最大值是            ．

14. 三位同学合作学习，对问题“已知不等式对于恒成立,求的取值范围”提出了各自的解题思路.

 甲说：“可视为变量，为常量来分析”.

 乙说：“寻找与的关系，再作分析”.

 丙说：“把字母单独放在一边，再作分析”.

参考上述思路，或自已的其它解法，可求出实数的取值范围是          ．

二.解答题:本大题6小题,共90分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本大题14分,第一小题7分,第二小题7分)

如图，在三棱柱中，四边形为菱形，，四边形为矩形，若且，

⑴求证：平面平面；

⑵求三棱柱的体积.

16. ( 本大题14分,第一小题7分,第二小题7分)

已知二次函数，若对任意x、x∈R，恒有2f(≤f(x)+f(x)成立，不等式f(x)<0的解集为A.

(1)求集合A；

(2)设集合，若集合B是集合A的子集，求的取值范围.

17.( 本大题15分,第一小题7分,第二小题8分)

已知，在平面上对应的点

为.

（1）若，求的值；

（2）若，求的值.

18. ( 本大题15分,第一小题7分,第二小题8分)

⑴在长度为的线段上任意作一点，求的概率；

⑵若将长度为的线段截成三段，则三段长能围成一个三角形的概率有多大.

19. ( 本大题16分,第一小题5分,第二小题5分,第三小题6分)

如图，已知椭圆的焦点和上顶点分别为、、，我们称为椭圆的特征三角形.如果两个椭圆的特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为椭圆的相似比.

（1）已知椭圆和，判断与是否 

相似，如果相似则求出与的相似比，若不相似请说明理由；

（2）写出与椭圆相似且半短轴长为的椭圆的方程，并列举  

相似椭圆之间的三种性质（不需证明）；

（3）已知直线,在椭圆上是否存在两点、关于直

线对称，若存在，则求出函数的解析式.

20. ( 本大题16分,第一小题5分,第二小题5分,第三小题6分)

已知公差大于零的等差数列的前n项和为S_n，且满足：，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列是等差数列，且，求非零常数c；

（3）若(2)中的的前n项和为，求证：

数学附加题

(时间30分钟,满分40分)

一.选答题:本大题共4小题,请从这4题中选做2小题,如果多做,则按所做的前两题记分.每小题10分,共20分.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

1．（几何证明选讲）

如图，已知AD是ΔABC的外角ÐEAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA 交ΔABC的外接圆于点F，连结FB、FC．

（1）求证：FB=FC；

（2）求证：FB²=FA?FD；

（3）若AB是ΔABC外接圆的直径，ÐEAC=120°，  BC=6cm，求AD的长．

2．（不等式选讲）

对于任意的实数和，不等式恒成立，试求实数的取值范围.

3．（矩阵与变换）

设，若矩阵把直线：变换为另一直线：，求的值.

4．（坐标系与参数方程）

从极点作直线与另一直线相交于点，在上取一点，使.

⑴求点的轨迹方程；

⑵设为直线上任意一点，试求的最小值.

选做第_______题：

选做第_______题：

二.必答题:本大题共2小题,第一小题8分,第二小题12分,共20分.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

5． 已知数列满足，且().

  ⑴求的值；

⑵由⑴猜想的通项公式，并给出证明.

6．学校文艺队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有人，会跳舞的有人，现从中选人.设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且.

  ⑴求文艺队的人数；

⑵写出的概率分布列并计算.

一.填空题:

1.     2.    3.  64    4.     5.      6.   

7.  1    8.    9.      10.     11.  充分非必要    12.  4 

 13.    4   14.  

二.解答题:

15.[解]：⑴略；⑵.

16. 解：(1)对任意x、x∈R，由≥0成立.

要使上式恒成立，所以。…………………………………………………3分

由f(x)=ax+x是二次函数知a≠0，故a＞0. ………………………………4分

解得。……………………………………………………………5分

(2) 解得，…………………………………………………6分

因为集合B是集合A的子集，所以…………………………8分

且，…………………………………………………………………11分

化简得，解得………………14分

17. [解]：（1），

.

由得

，∵ ，∴或.      ---------7分

（2），得

     ，，.

  两边平方得，.

  ∴ 原式.---------14分

18. 解：（1）（2）

19. [解]：（1）椭圆与相似.

因为的特征三角形是腰长为4，底边长为的等腰三角形，而椭圆的特征三角形是腰长为2，底边长为的等腰三角形，因此两个等腰三角形相似，且相似比为.       ------- 4分

（2）椭圆的方程为：.------------------------7分

两个相似椭圆之间的性质有：                          写出一个给1分

①     两个相似椭圆的面积之比为相似比的平方；

②     分别以两个相似椭圆的顶点为顶点的四边形也相似，相似比即为椭圆的相似比；

③     两个相似椭圆被同一条直线所截得的线段中点重合；

过原点的直线截相似椭圆所得线段长度之比恰为椭圆的相似比.    ----10分

（3）假定存在，则设、所在直线为，中点为.

则.-------------------12分

所以.

中点在直线上，所以有.-------------16分

.

.-------------18分

20.解：（1）为等差数列，∵，又，

∴ ，是方程的两个根

又公差，∴，∴， ……………………………………   2分

∴    ∴   ∴……………………………………  4分

（2）由(1)知， ………………………………………… 5分

∴ ………………………………………………………………   6分

∴，， ………………………………………………  8分

∵是等差数列，∴，∴ ……………………………     9分

∴（舍去） …………………………………………………………… 10分

（3）由(2)得 ………………………………………………………… 12分

  ，时取等号 ………… 15分

，时取等号…17分

(1)、(2)式中等号不可能同时取到，所以 ………………… 18分

附加题:

1. 解：（1）∵AD平分ÐEAC，∴ÐEAD=ÐDAC．

∵四边形AFBC内接于圆，∴ÐDAC=ÐFBC．

    ∵ÐEAD=ÐFAB=ÐFCB，∴ÐFBC=ÐFCB，∴FB=FC．

（2）∵ÐFAB=ÐFCB=ÐFBC ，ÐAFB=ÐBFD，

     ∴ΔFBA∽ΔFDB．∴，∴FB²=FA?FD．

（3）∵AB是圆的直径，∴ÐACB=90°．

     ∵ÐEAC=120°， ∴ÐDAC=ÐEAC=60°，ÐBAC=60°．∴ÐD=30°．

     ∵BC= 6， ∴AC=． ∴AD=2AC=cm．