一类二次根式题的统一解法

赵春祥

    若a、b、c为非负有理数。

    都是同类二次根式，利用这一性质解题，对培养逆向思维大有好处。下面举例说明。

    例1 已知x、y都为正数，且，求x+y的值。

    解：因为只有同类二次根式才能合并，而

    又

    所以设（a、b为正整数），

    则有

    即得a+b=3。

    所以a=1，b=2

    或a=2，b=1。

    ∴x=222，y=888

    或x=888，y=222。

    ∴x+y=1110。

    例2 若a、b、c为有理数，且等式

    （  ）。

    A. 1999     B. 2000      C. 2001     D. 不能确定

    解：

    而

    因此，2a+999b+1001c=2000。

    故选B。

    例3 方程

     A. 2         B. 3             C. 4            D. 5

    解：

    考虑到x，y的对称性得所求整数对为（0，336），（336，0），（21，189），（189，21），（84，84）。共有5对。

    故选D。

    例4 （x，y）中，x+y的最大值是（  ）。

    A.1189        B. 1517         C. 1657      D. 1749

    解：已知等式可化为

    由此可设

    此时x+y=41（a²+b²）。

    ∵a、b为满足等式a+b=7的正整数，

    ∴a=1，b=6或a=6，b=1时，

    a²+b²有最大值为37。

    则x+y的最大值为41×37=1517。

    故选B。

    例5 正整数a、m、n满足

    ，则这样的a、m、n取值（  ）

    A. 有一组       B. 有二组    C. 多于三组    D. 不存在

    解：将已知两边平方，得

    ，

    根据有理数与无理数部分对应相等，

    得：

    ∵m≥n，且m、n为正整数。

    ∴

    （不满足①，舍去）。

   ∴a=3。

    故选A。