例谈求一次函数解析式的常见题型

  时勇

    一次函数及其图像是初中代数的重要内容，也是高中解析几何的基石，更是中考的重点考查内容。其中求一次函数解析式就是一类常见题型。现以部分中考题为例介绍几种求一次函数解析式的常见题型。希望对同学们的学习有所帮助。

一. 定义型

    例1. 已知函数是一次函数，求其解析式。

    解：由一次函数定义知

    ，故一次函数的解析式为

    注意：利用定义求一次函数解析式时，要保证。如本例中应保证

二. 点斜型

    例2. 已知一次函数的图像过点（2，－1），求这个函数的解析式。

    解：一次函数的图像过点（2，－1）

    ，即

    故这个一次函数的解析式为

    变式问法：已知一次函数，当时，y＝－1，求这个函数的解析式。

三. 两点型

    已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是（－2，0）、（0，4），则这个函数的解析式为_____________。

    解：设一次函数解析式为

    由题意得

    故这个一次函数的解析式为

四. 图像型

    例4. 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。

    解：设一次函数解析式为

    由图可知一次函数的图像过点（1，0）、（0，2）

    有

    故这个一次函数的解析式为

五. 斜截型

    例5. 已知直线与直线平行，且在y轴上的截距为2，则直线的解析式为___________。

    解析：两条直线：；：。当，时，

    直线与直线平行，。

    又直线在y轴上的截距为2，

    故直线的解析式为

六. 平移型

    例6. 把直线向下平移2个单位得到的图像解析式为___________。

    解析：设函数解析式为，直线向下平移2个单位得到的直线与直线平行

    直线在y轴上的截距为，故图像解析式为

七. 实际应用型

    例7. 某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系式为___________。

    解：由题意得，即

    故所求函数的解析式为（）

    注意：求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围。

八. 面积型

    例8. 已知直线与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线解析式为__________。

    解：易求得直线与x轴交点为（，0），所以，所以，即

    故直线解析式为或

九. 对称型

    若直线与直线关于

    （1）x轴对称，则直线l的解析式为

    （2）y轴对称，则直线l的解析式为

    （3）直线y＝x对称，则直线l的解析式为

    （4）直线对称，则直线l的解析式为

    （5）原点对称，则直线l的解析式为

    例9. 若直线l与直线关于y轴对称，则直线l的解析式为____________。

    解：由（2）得直线l的解析式为

十. 开放型

    例10. 已知函数的图像过点A（1，4），B（2，2）两点，请写出满足上述条件的两个不同的函数解析式，并简要说明解答过程。

    解：（1）若经过A、B两点的函数图像是直线，由两点式易得

    （2）由于A、B两点的横、纵坐标的积都等于4，所以经过A、B两点的函数图像还可以是双曲线，解析式为

    （3）其它（略）

十一. 几何型

    例11. 如图，在平面直角坐标系中，A、B是x轴上的两点，，，以AO、BO为直径的半圆分别交AC、BC于E、F两点，若C点的坐标为（0，3）。（1）求图像过A、B、C三点的二次函数的解析式，并求其对称轴；（2）求图像过点E、F的一次函数的解析式。

    解：（1）由直角三角形的知识易得点A（，0）、B（，0），由待定系数法可求得二次函数解析式为，对称轴是

    （2）连结OE、OF，则、。过E、F分别作x、y轴的垂线，垂足为M、N、P、G，易求得E（，）、F（，）由待定系数法可求得一次函数解析式为

十二. 方程型

    例12. 若方程的两根分别为，求经过点P（，）和Q（，）的一次函数图像的解析式

    解：由根与系数的关系得，

    ，

    点P（11，3）、Q（－11，11）

    设过点P、Q的一次函数的解析式为

    则有

    解得

    故这个一次函数的解析式为

十三. 综合型

    例13. 已知抛物线的顶点D在双曲线上，直线经过点D和点C（a、b）且使y随x的增大而减小，a、b满足方程组，求这条直线的解析式。

    解：由抛物线的顶点D（）在双曲线上，可求得抛物线的解析式为：

    ，顶点D₁（1，－5）及

    顶点D₂（，－15）

    解方程组得，

    即C₁（－1，－4），C₂（2，－1）

    由题意知C点就是C₁（－1，－4），所以过C₁、D₁的直线是；过C₁、D₂的直线是