分类讨论在相似形中的应用

马健

    在我们的几何题目中，有许多问题需要分类讨论，常因不会分类、分类不确切或讨论不全面发生漏解。只有全面掌握基础知识和经过严密思考，找准解题的切入点，才能使得出的结论不重复、不遗漏。下面就相似形中的几个问题加以说明。

  例1. 已知两数4和8，试写出第三个数，使这三个数中，其中一个数是另外两个数的比例中项，则第三个数为_____________。

    析：这是一道开放性题目，它需分几种情况讨论。不妨设第三个数为x，

    由可得；

    由得；

    由可得。

    故第三个数为2，或16，或。

  例2. 若，求x的值。

    析：利用合比性质，当，此时

    又当时，可得出

    此时

    故x的值为，或。

  例3. 要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4、5、6，另一个三角形框架的一边长为2，怎样选料，可使这两个三角形相似。

    析：本题中长为2的边长可以分别与长为4、5、6的边对应。

    设另两边分别为x、y。于是得出：

    得：；

    得：；

    得：。

    所以框架另两边长可选，或，或。

  例4. 如图1，，点M在AB上且，点N在AC上，联结MN，使△AMN与原三角形相似，则AN＝___________。

    析：当MN∥BC时，△AMN∽△ABC，可得：

    ，即

    故

    当MN不平行于BC时，∠AMN＝∠C时，△AMN∽△ACB，可得：

    ，即，得

    故AN长为2，或

  例5. 若正方形的四个顶点分别在直角三角形的三条边上，直角三角形的两条直角边长分别为3cm和4cm，则此正方形的边长为____________。

    析：这是一道操作、设计型开放题，可分两种情况：（1）是正方形一角为直角三角形的直角时，如图2，由相似可得出：；（2）是两个顶点在斜边上，如图3，由相似可得出：。所以此正方形的边长为，或。