复杂线段比例式和等积式证明举例

王仁宏

    义务教育初中几何第二册对简单的线段比例式和等积式做了一些简单介绍。但同学们解题中还会遇到一些复杂的线段比例式和等积式的证明。

    例如

    等，证明这些等式的思想是将它们转化为简单的比例式和等积式加以证明，下面举例说明这种证题思路。

一. 型等式的证明

    例1. 如图1所示，在△ABC中，∠A的平分线交BC于P，∠A的外角平分线交BC延长线于Q，O是PQ之中点。

图1

    求证：

    证明：因为AP平分

    又因为O是斜边PQ之中点，连AO，得OA=OP。因为

    例2. 如图2所示，已知△ABC中，DF⊥BC于F。

    求证：

图2

    证明：

二. 型等式的证明

    例3. 如图3所示，已知一直线截△ABC的边AB，AC和BC的延长线于F、E、D。

    求证：

图3

    证明：过点C作CG//FD，交AB于G。

三. 型等式的证明

    例4. 如图4所示，已知O是△ABC内的一点，过O作EF、QP、GH分别平行于BC、CA、AB。

    求证：

图4

    分析：求证的是三个比的和为1，只要求得与这三个比的分母是同一条线段，并且分子线段的和等于分母线段即可。

    证明：在中，

    在△ABC和△GOF中，

四. 型等式的证明

    例5. 如图5所示，在锐角△ABC中，高线BE与CF相交于H，

    求证：。

图5

    分析：求证式中的右端有线段的积，这使我们联想到如能创造出相似三角形，则会有对应线段成比例，就会出现线段的乘积式，为此添辅助线于D，则出现相似三角形，而求证式中的右端均为相似三角形的边，故可从相似三角形开始证明。

    证明：过H作交BC于D。

    则

    即         （1）