完全平方公式变形的应用

  姜峰

    完全平方公式是多项式乘法中非常重要的一个公式。掌握其变形特点并灵活运用，可以巧妙地解决很多问题。

   一. 完全平方公式常见的变形有

    a²+b²=（a+b）²-2ab，

    a²+b²=（a-b）²+2ab，

    （a+b）²-（a-b）²=4ab，

     a²+b²+c²=（a+b+c）²-2（ab+ac+bc）

  二. 乘法公式变形的应用

    例1： 已知：x²+y²+4x-6y+13=0，x、y均为有理数，求x^y的值。

    分析：逆用完全乘方公式，将

    x²+y²+4x-6y+13化为两个完全平方式的和，利用完全平方式的非负性求出x与y的值即可。

    解：∵x²+y²+4x-6y+13=0，

    （x²+4x+4）+（y²-6y+9）=0，

    即（x+2）²+（y-3）²=0。

    ∴x+2=0，y=3=0。

    即x=-2，y=3。

    ∴x^y=（-2）³=-8。

    分析：本题巧妙地利用

    例3 已知：a+b=8，ab=16+c²，求（a-b+c）²⁰⁰²的值。

    分析：由已知条件无法直接求得（a-b+c）²⁰⁰²的值，可利用（a-b）²=（a+b）²-4ab确定a-b与c的关系，再计算（a-b+c）²⁰⁰²的值。

    解：（a-b）²=（a+b）²-4ab=8²-4（16+c²）=-4c²。

    即：（a-b）²+4c²=0。

    ∴a-b=0，c=0。

    ∴（a-b+c）²⁰⁰²=0。

    例4 已知：a、b、c、d为正有理数，且满足a⁴+b⁴+C⁴+D⁴=4abcd。

    求证：a=b=c=d。

    分析：从a⁴+b⁴+C⁴+D⁴=4abcd的特点看出可以化成完全平方形式，再寻找证明思路。

    证明：∵a⁴+b⁴+C⁴+D⁴=4abcd，

    ∴a⁴-2a²b²+b⁴+c⁴-2c²d²+d⁴+2a²b²-4abcd+2c²d²=0，

    （a²-b²）²+（c²-d²）²+2（ab-cd）²=0。

     a²-b²=0，c²-d²=0，ab-cd=0

    又∵a、b、c、d为正有理数，

    ∴a=b，c=d。代入ab-cd=0，

    得a²=c²，即a=c。

    所以有a=b=c=d。

    练习：

    1. 已知：x²+3x+1=0。

    2. 已知x，y，z满足条件

    求：（1）x²+y²+z²

    （2）x⁴+y⁴+z⁴的值

    3. 已知：x=a²+b²，y=c²+d²。

    求证：x，y可表示成平方和的形式。

    4. 已知：ad-bc=1

    求证：a²+b²+c²+d²+ad+cd≠1。