对角线互相垂直的四边形的面积

张现立

    对角线互相垂直的四边形的面积等于它的两条对角线长的积的一半。下面我们证明这个结论。

    已知：四边形ABCD中，对角线于E，如图1。

    求证：

图1

    证明：在四边形ABCD中，于E

    所以

    对于对角线互相垂直的四边形的面积求解问题，这是一个十分方便的公式。

  例1. 菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O，的周长为，求菱形ABCD的面积。（如图2）

图2

    解：在菱形ABCD中，

    因为，所以

    设，则

    所以

    解得

    所以

    所以

    所以

  例2. 等腰梯形ABCD的两条对角线互相垂直，垂足为O，梯形的高为a，求梯形ABCD的面积。

    解：设梯形ABCD的腰为AB、CD，则，，BC＝CB（如图3）

图3

    所以

    所以

    又因为于O，所以在中，

    过点D作于E，则为等腰直角三角形，故

    所以

  例3. 如图4，已知：在中，BD和CE分别是两边上的中线，并且，求的面积。

图4

    解：连结DE，则四边形BCDE的面积为

    又因为

    所以

  例4. 如图5，已知：在边长为4cm的正方形ABCD中，取CD的中点E，G在BC上，F在AD上，，求四边形AGEF的面积。

图5

    解：在中，

    所以

    过G点作，垂足为H

    因为，所以

    从而

    又因为

    所以

    所以

    故

  例5. 已知梯形ABCD中，，如图6，求。

图6

    解：过D作DE//AC交BC的延长线于点E，所以四边形ADEC是平行四边形。

    所以

    因为

    所以

    所以

    又因为DE//AC，所以

    所以