母子相似形的妙用

    “一母生两子，两子皆似母。”直角三角形斜边上的高将原直角三角形分为两个小直角三角形，这两个小直角三角形都和原直角三角形相似，这种基本图形我们不妨形象地叫做母子相似形。在母子相似形中有三个重要的结论（如图1）：

    其应用十分广泛，有些几何命题，虽然条件中没有给出这种基本图形，但可以根据题目特征，构造出母子相似形，巧妙地运用三个结论，从而达到灵活解题的目的。下举例说明：

    例1  如图2，在中，AB=AC，高AD与BE交于H，，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF，M是AH的中点。

    求证：

    分析：依题意知，因而有诸多的直角三角形，故应充分考虑母子相似形的应用。

    欲证

    因

    只要证

    而BD=DE，GD=EF

    故只要证

    若将EF平移至DK，并连ME，这时只要证是母子相似形，即只要证，也就是要证，而在直角三角形BEC和HEA中，D、M分别为斜边BC、HA的中点，所以容易得，又易证，至此，思路理顺，命题可证。

    例2  如图3，已知⊙外切⊙于P，一条外公切线分别切两圆于点M、N，A为⊙上任意一点，AP交⊙于B，AM交BN于C，AD切⊙于D。求证：AD=AC。

    分析：AD是⊙的切线，由切割线定理，知

    如图3，连结CP，则问题转化为证构成母子相似形

    即需证

    而根据题意易知，

    又因为切点三角形PMN是直角三角形

    故证得，且有P、M、C、N四点共圆

    因而

    于是有为母子相似形

    即得

    所以

    于是由<1>、<2>知，命题得证。