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    湖北省鄂州市2009届高三五月模拟试题

    数学（理科）

    命题人：胡俊峰　　审题人：王兆良

    一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

    1．设高考资源网( www.1010jiajiao.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。＝(2，－3)，高考资源网( www.1010jiajiao.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。＝(－4，3)，高考资源网( www.1010jiajiao.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。＝(5，6)，则(高考资源网( www.1010jiajiao.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。＋3高考资源网( www.1010jiajiao.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。)?高考资源网( www.1010jiajiao.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。等于

    A．(－50，36)            B．－12                  C．0                      D．－14

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    2．“a＝高考资源网( www.1010jiajiao.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。”是“对任意的正数x，2x＋高考资源网( www.1010jiajiao.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。≥1”的

    A．必要不充分条件                                     B．充分不必要条件

    C．充要条件                                                D．既不充分也不必要条件

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    3．已知高考资源网( www.1010jiajiao.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。、高考资源网( www.1010jiajiao.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量高考资源网( www.1010jiajiao.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。满足(高考资源网( www.1010jiajiao.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。－高考资源网( www.1010jiajiao.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。)?(高考资源网( www.1010jiajiao.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。－高考资源网( www.1010jiajiao.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。)＝0，则高考资源网( www.1010jiajiao.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。的最大值是

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    A．1                             B．2                       C．高考资源网( www.1010jiajiao.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。                  D．高考资源网( www.1010jiajiao.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。

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    高考资源网( www.1010jiajiao.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。4．如图，AB＝AC＝BD＝1，AB高考资源网( www.1010jiajiao.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。M，AC⊥M，

    BD⊥AB，BD与面M成30o角，则CD等于

    A．1                             B．2

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    C．高考资源网( www.1010jiajiao.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。                         D．高考资源网( www.1010jiajiao.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。

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    5．函数y＝f (x)的反函数为f －1(x)，则函数y＝f (x＋1)＋1的反函数为

    A．y＝f －1(x＋1)＋1                                  B．y＝f －1(x－1)－1      

    C．y＝f －1(x－1)＋1                                  D．y＝f －1(x＋1)－1

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    6．已知f (x)＝高考资源网( www.1010jiajiao.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。，当θ∈(高考资源网( www.1010jiajiao.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。π，高考资源网( www.1010jiajiao.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。π)时，f (sin2θ)－f (－sin2θ)可化简为

    A．2sinθ                      B．－2cosθ            C．2cosθ              D．－2sinθ

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    7．三对夫妻排成一行，夫妻不相邻的不同排法共有（   ）种

    A．360                         B．420                   C．240                  D．432

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    8．下列函数中在x＝0处连续的是

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    A．高考资源网( www.1010jiajiao.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。                        B．高考资源网( www.1010jiajiao.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。

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    C．f (x)＝(1＋x)高考资源网( www.1010jiajiao.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。                                      D．高考资源网( www.1010jiajiao.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。

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    9．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F 的直线l从上到下依次交抛物线于点A、B，交其准线于C，若高考资源网( www.1010jiajiao.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。，高考资源网( www.1010jiajiao.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。＝3，则抛物线的方程为

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    A．y2＝9x                    B．y2＝6x               C．y2＝3x              D．y2＝高考资源网( www.1010jiajiao.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。

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    10．设高考资源网( www.1010jiajiao.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。，若对任何x≥0，都有f (x)≤ax，则a∈

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    A．高考资源网( www.1010jiajiao.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。                 B．高考资源网( www.1010jiajiao.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。          C．高考资源网( www.1010jiajiao.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。              D．高考资源网( www.1010jiajiao.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。

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    二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在相应位置上。

    11．判断正假（填“真”或“假”）已知复数z1、z2满足高考资源网( www.1010jiajiao.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。且z1＋2z2为纯虚数，则3z1－z2为实数______________．

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    12．已知⊙M：x2＋(y－2)2＝1，Q是x轴上动点QA、QB分别切⊙M于A、B两点，则直线AB恒过定点______________．

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    13．已知数列高考资源网( www.1010jiajiao.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。满足a1＝1，an＝a1＋2a2＋3a3＋…＋(n?1) an?1(n≥2)，则高考资源网( www.1010jiajiao.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。的通项an＝_____________．

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    14．已知f (x)是R上的函数，且f (x＋2)＝高考资源网( www.1010jiajiao.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。，若f (1)＝高考资源网( www.1010jiajiao.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。，则f (2009)＝_______．

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    15．设a∈R，f (x)＝ax2＋x?a(?1≤x≤1)，当a＝_______时，f (x)max＝高考资源网( www.1010jiajiao.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。．

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    三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

    16．(本小题满分12分)已知函数高考资源网( www.1010jiajiao.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。，高考资源网( www.1010jiajiao.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。．

    ⑴求f (x)的最值；

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    ⑵若不等式高考资源网( www.1010jiajiao.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。＜2在高考资源网( www.1010jiajiao.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。上恒成立，求实数m的取值范围．

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    高考资源网( www.1010jiajiao.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。17．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P―ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60o，E、F 分别是BC、PC的中点．

    ⑴证明：AE⊥PD；

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    ⑵若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正
    切值为高考资源网( www.1010jiajiao.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。，求二面角E―AF―C的余弦值．

     

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    18．（本小题满分12分）某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序加工结果均有A、B两个等级，对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品．

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    ⑴已知甲、乙两种产品第一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙；

    ⑵已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、η分别表示一件甲、乙产品的利润，在⑴的条件下，求ξ、η的分布列及Eξ、Eη；

    ⑶已知生产一件产品需用的工人数和资金数如表三所示，该工厂有工人40名，可用资金60万元，设x、y分别表示生产甲、乙产品的数量，在⑵的条件下，x、y为何值时，z＝xEξ＋yEη最大？最大值是多少？

     

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    19．已知两定点A(－3，0)，B(3，0)，动圆M与直线AB相切于点N，且高考资源网( www.1010jiajiao.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。，现分别过点A、B作动圆M的切线（异于直线AB），两切线相交于点P．

    ⑴求动点P的轨迹方程；

    ⑵若直线x?my?3＝0截动点P的轨迹所得的弦长为5，求m的值；

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    ⑶设过轨迹上的点P的直线与两直线高考资源网( www.1010jiajiao.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。分别交于点P1、P2，且点P分有向线段高考资源网( www.1010jiajiao.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。所成的比为λ(λ＞0)，当λ∈高考资源网( www.1010jiajiao.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。时，求高考资源网( www.1010jiajiao.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。的最值．

     

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    20．（本小题满分13分）数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N＋总有an，Sn，高考资源网( www.1010jiajiao.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。成等差数列．

    ⑴求数列{an}的通项公式；

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    ⑵设数列{bn}的前n项和为Tn，且高考资源网( www.1010jiajiao.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。．求证：对任意x∈(1，e]和n∈N＋，总有Tn＜2；

    ⑶正数数列{an}中，an＋1＝(cn)n＋1(n∈N＋)．求数列{cn}中的最大项．

     

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    21．（本小题满分14分）设函数高考资源网( www.1010jiajiao.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。．

    ⑴求f (x)的单调区间和极值；

    ⑵是否存在实数a，使得关于x的不等式f (x)≥a的解集为(0，＋∞)？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由．

     

     

     

    鄂州市2009届高三五月模拟试题

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    一、选择题

    1．D   2．B   3．C   4．D   5．B   6．C   7．C   8．D   9．C   10．D

    二、填空题

    11．真　　12．高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。　　13．高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。　　14．2＋高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。　　15．－2

    三、解答题

    16．⑴∵高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。                                                                               1分

    ＝高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。                                                                                                 3分

    又由高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。得高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。    ∴高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。                            5分

    故高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。，f (x)max＝1＋2×1＝3                                         6分

    ⑵高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。＜2在高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。上恒成立高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。时高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。        9分

    结合⑴知：高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。  故m的取值范围是（1，4）                        12分

    17．⑴连结AC，△ABC为正△，又E为BC中点，∴AE⊥BC又AD∥BC

    ∴AE⊥AD，又PA⊥平面ABCD

    故AD为PD在平面ABCD内的射影，由三垂线定理知：AE⊥PD。        4分

    ⑵连HA，由EA⊥平面PAD知∠AHE为EH与平面PAD所成线面角         5分

    而tan∠AHE＝高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。故当AH最小即AH⊥PD时EH与平面PAD所成角最大

                                                                                                                   6分

    令AB＝2，则AE＝高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。，此时高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。

    ∴AH＝高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。，由平几知识得PA＝2                                                          7分

    因为PA⊥平面ABCD，PA高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABCD

    过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC

    过O作OS⊥AF于S，连结ES，则∠ESO

    为二面角E―AF―C的平面角                                                                 9分

    在Rt△AOE中，EO＝AE?sin30°＝高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。，AO＝AE?cos30°＝高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。

    又F是PC的中点，在Rt△ASO中，SO＝AO?sin45°＝高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。

    又SE＝高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。，在Rt△ESO中，cos∠ESO＝高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。

    即所求二面角的余弦值为高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。                                                                                      12分

    注：向量法及其它方法可参照给分。

    18．⑴P甲＝0.8×0.85＝0.68，P乙＝0.75×0.8＝0.6                                         3分

    ⑵随机变量ξ、η的分布列如下：

    ξ

    5

    2.5

     

    η

    2.5

    1.5

    P

    0.68

    0.32

     

    P

    0.6

    0.4

    Eξ＝5×0.68＋2.5×0.32＝4.2，Eη＝2.5×0.6＋1.5×0.4＝2.1                  7分

    ⑶由题设知高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。目标函数为z＝xEξ＋yEη＝4.2x＋2.1y               9分

    作出可行域（如图）：高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。

    作直线l：4.2x＋2.1y＝0，将l向右上方平移到l1位置时

    直线经过可行域上的M点与原点距离最大

    此时Z＝4.2x＋2.1y取得最大值，又M(4，4)

    即x＝y＝4时，z取最大值25.2。                                                            12分

    19．⑴由题设及平面几何知识得高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。

    ∴动点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线右支由高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。，

    ∴b2＝c2－a2＝5，故所求P点的轨迹方程为高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。               3分

    ⑵易知直线x?my?3＝0恒过双曲线焦点B(3，0)

    设该直线与双曲线右支相交于D(xD，yD)，E(xE，yE)由双曲线第二定义知

    高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。，又a＝2，c＝3，

    ∴e＝高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。则高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。                                                               5分

    由|DE|＝5，得高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。，从而易知仅当m＝0时，高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。满足|DE|＝5

    故所求m＝0                                                                                          7分

    ⑶设P(x，y)，P1(x1、y1)，P2(x2、y2)且P分有向线段高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。所成的比为λ，则

    高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。，高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。又点P(x，y)在双曲线

    高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。上，∴高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。，化简得高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。，

    又高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。，高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。，∴高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。         9分

    令高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。  ∵高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。在高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。上单减，在高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。上单增，

    又高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。    ∴高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。在高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。上单减，在高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。上单增，∴umin＝u(1)＝4，

    又高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。，高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。    ∴umin＝高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。

    故高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。的最小值为9，最大值为高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。。

    20．⑴由已知，对于n∈N＋总有高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。①，∴高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。②

    ①－②得高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。∴高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。

    ∵an＞0，∴高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。∴数列高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。是公差为1的等差数列

    又n＝1时，高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。，解得a1＝1，∴an＝n(n∈N＋)。                    4分

    ⑵证明：∵an＝n，则对任意高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。和高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。，总有高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。         6分

    ∴高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。

                                                                                                                 8分

    ⑶解：由已知高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。，高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。，

    高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。，高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。

    易得c1＜c2，c2＞c3＞c4＞…猜想n≥2时，高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。是单调递减数列    10分

    令高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。，则高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。

    ∴当x≥3时，f’ (x)<0，故在高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。内f (x)单减                             12分

    由an＋1＝(cn)n＋1知高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。

    ∴n≥2时，高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。是单减数列，即{cn}是单减数列，又c1<c2

    ∴{cn}中最大项为高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。

    21．⑴高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。                                          3分

    故当x∈(0，1)时高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。＞0，x∈(1，＋∞)时高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。＜0

    所以高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。在(0，1)单增，在(1，＋∞)单减                                               5分

    由此知高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。在(0，＋∞)内的极大值为高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。＝ln2，没有极小值                 6分

    ⑵(i)当a≤0时，由于高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。

    故关于x的不等式高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。的解集为(0，＋∞)                                          10分

    (ii)当a＞0时，由高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。知高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。

    其中n为正整数，且有高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。

    又n≥2时，高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。且高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。

    取整数no满足no＞－log2(e高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。－1)，no＞高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。且no≥2

    即高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。

    即当a＞0时，关于x的不等式高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。的解集不是(0，＋∞)                13分

    综合(i)、(ii)知，存在a使得关于x的不等式高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。的解集为(0，＋∞)且a的取值范围为(－∞，0]

    法二：

    注：事实上，注意到高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。定义域为(0，＋∞)，只须求高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。之下限

    结合(1)，并计算得高考资源网( www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。

    故所求a值存在，其范围是(－∞，0]

     

     


    同步练习册答案