2009年安徽省马鞍山市高中毕业班第三次教学质量检测
数学（理科）试题
考生注意事项：
1． 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．
2． 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致．
3． 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
4．
答第Ⅱ卷时，必须用
5． 考试结束，监考人员将试题卷和答题卡一并收回．
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).
如果事件A、B相互独立，那么P(A?B)=P(A)?P(B).
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概
率：
.
球的表面积公式：
，其中R表示球的半径.
球的体积公式：
，其中R表示球的半径.
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题卡上将正确选项的代号涂黑.
1.设
为虚数单位，则复数
在复平面内对应的点在
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.设集合M=
，N=
,则M
CRN等于
A. 
B. 
C. 
D. 
3．由函数
的图象经过平移得到函数
的图象，下列说法正确的是
A. 向左平移
个单位长度
B.向左平移 
个单位长度
C. 向右平移个单位长度
D.向右平移 个单位长度
4. 下列说法正确的是
A.做n次随机试验，事件A发生了m次，则事件A发生的概率为
；
B.样本容量很大时，频率分布直方图就是总体密度曲线；
C.独立性检验是研究解释变量和预报变量的方法；
D.从散点图看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，就称两个变量之间具有线性相关关系.
5.在面积为S的三角形ABC内随机取一点M，则三角形MBC的面积
的概率为
A. 
B.
C.
D.
6. 一个多面体的直观图和三视图如下，则多面体A－CDEF外接球的表面积是
A.
B.
C.
D.
7． 双曲线
的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作倾斜角为45º的直线交双曲线的右支于M，若MF2⊥x轴，则双曲线的离心率为
A. 
B. 
C. 
D. 
8.若
的展开式中存在常数项，则n的值可以是
A.8 B
9. 右图是一个算法的程序框图，当输入x=3时，输出y的结果是0.5，则在计算框 中“？”处的关系式可以是
A. 
B. 
C. 
D. 
10. 已知α、β为两个互相垂直的平面，a、b为一对异面直线 给出下面条件：
①a∥α，b
β； ②a⊥α，b//β； ③a⊥α，b⊥β.其中是a⊥b的充分条件的有
A.② B.③ C.②③ D.①②③
11. 
，当
时，有
，则
应满足的关系一定是
A. 
B. 
C. 
D. 
12.过抛物线上一动点P(t,t2)
(0<t<1)作此抛物线的切线
，抛物线与直线x=0、x=1及切线围成的图形的面积为S,则S的最小值为
A. 
B. 
C. 
D. 
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
13.已知曲线C1,C2的极坐标方程分别为
，则曲线C1,C2交点的极坐标为 ;
14. 已知点P
）满足条件
，若x+3y的最大值为8，则
;
15. 如图，四边形ABCD中，
a, 
b,对角线AC与BD交于点O，
若点O为BD的中点，
，则
;
16.过点
的直线将圆
分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率k等于 ;
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
已知函数
（Ⅰ）求
的值;
（Ⅱ）当
时，求
的最大值和最小值.
18.（本小题满分12分）
在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB＝2．
（Ⅰ）求四棱锥P－ABCD的体积V；
（Ⅱ）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF；
（Ⅲ）求二面角C-PD-A的余弦值.
19. （本小题满分12分）
某通道有三道门，在前两道门前的匣子里各有3把钥匙（第三道门前没有钥匙），其中一把能打开任何一道门，一把只能打开本道门，还有一把不能打开任何一道门.现从第一道门开始，随机地从门前的匣子里取一把钥匙开门，若不能进入，就终止；若能进入，再从第二道门前的匣子里随机地取一把钥匙，并用已得到的两把钥匙开门,若不能进入就终止；若能进入，继续用这两把钥匙开第三道门，记随机变量
为打开的门数.
（Ⅰ）求
时的概率；
（Ⅱ）求的数学期望.
20.（本小题满分12分）
正项数列
满足
，Sn为其前n项和，且
（n≥1）.
（Ⅰ）求数列的通项公式;
（Ⅱ）等比数列
的各项为正，其前n项和为Tn，且b1b2b3=8,又
成等差数列，求Tn.
21．(本小题满分12分)
如图，已知圆C：
,定点A(1,0),M为圆
上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足
=
,
?
=0，点N的轨迹为曲线E.
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）若过定点A(1,0)的直线交曲线E于不同的两点G、H，
且满足∠GOH为锐角，求直线的斜率k的取值范围.
22. (本小题满分14分)
设函数
（Ⅰ）若
互不相等，且
，求证成等差数列;
（Ⅱ）若
，过两点
的中点作与x轴垂直的直线，此直线与
的图象交于点P，
求证：函数在点P处的切线过点（c,0）;
（Ⅲ）若c=0,
,
时，
恒成立，求
的取值范围.
2009年马鞍山市高中毕业班第三次教学质量检测
一．选择题
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
B
D
D
C
A
C
C
B
D
A
二填空题
13.
； 14．－6 ； 15．
； 16.
.
三．解答题
17．解：（Ⅰ）
………………………………………………………………4分
…………………………6分
（Ⅱ）
…………………………………………………8分
∴
…………………………………………………………………………10分
………………………………………………………………………………12分
18．解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB＝1，∠BAC＝60°，∴BC＝
，AC＝2．
在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，∴CD＝2，AD＝4．
∴
＝
．……………………………………………………………… 2分
则V＝
． ……………………………………………………………… 4分
（Ⅱ）∵PA＝CA，F为PC的中点，∴AF⊥PC． …………………………5分
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．
∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．
∵E为PD中点，F为PC中点，∴EF∥CD．则EF⊥PC． …………………………7分
∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．…………………………………………………………8分
（Ⅲ）以A为坐标原点，AD,AP所在直线分别为y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则平面PAD的法向量为：
=（1，0，0）
由（Ⅱ）知AF⊥PC,AF⊥CD ∴AF⊥平面PCD
∴
为平面PCD的法向量.
∵P(0,0,2),C
∴=
,即二面角C-PD-A的余弦值为
…………12分
19．解：设第一个匣子里的三把钥匙为A，B，C，第二个匣子里的三把钥匙为a,b,c(设A,a能打开所有门，B只能打开第一道门，b只能打开第二道门，C,c不能打开任何一道门)
（Ⅰ）
…………………………………………………………………………4分
（Ⅱ）
(第一次只能拿B,第二次只能拿c) ……………………………6分
(第一次只能拿B,第二次只能拿b)
……………………………8分
(第一次拿A,第二次随便拿，或第一次拿B，第二次拿a) …10分
…………………………12分
20.（Ⅰ）依题
即
（
…………………………………………………3分
故
为等差数列，a1=1，d=2
………………………………………………………………………………………………5分
（Ⅱ）设公比为q，则由b1b2b3=8，bn>0
…………………………………………………6分
又
成等差数列
………………………………………………………………………………………8分
或
…………………………………………………………………………………10分
或
……………………………………………………………………12分
21解：（Ⅰ）依题PN为AM的中垂线
…………………………………………………………2分
又C（-1，0），A（1，0）
所以N的轨迹E为椭圆，C、A为其焦点…………………………………………………………4分
a=，c=1，所以
为所求………………………………………………………5分
（Ⅱ）设直线
的方程为：y=k（x-1）代入椭圆方程：x2+2y2=2得
（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0………………（1）
设G（x1，y1）、H（x2，y2），则x1，x2是（1）的两个根.
…………………………………………………………7分
依题
………………………………………………………9分
解得：
………………………………………………………………………12分
22.解：（Ⅰ）
若
，则
即
∴
成等差数列……………………3分
（Ⅱ）依题意
∴切线
令
得
，即
∴切线过点
.……………………………………………………………………………8分
（Ⅲ）
，则
∴
①
时：
时，
，此时为增函数；
时，
，此时为减函数；
时，，此时为增函数.
而
，依题意有
………………10分
②
时：
在
时，
∴
即
……（☆）
记
，则
∴
为R上的增函数，而
，∴时，
恒成立，（☆）无解.
综上，
为所求.…………………………………………………………………………14分
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