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    2009届高考数学压轴题预测

    专题二 数列

    1.       已知函数，是方程f(x)＝0的两个根，是f(x)的导数；设，(n＝1，2，……)

     (1)求的值；

     (2)证明：对任意的正整数n，都有＞a；

     (3)记(n＝1，2，……)，求数列{bn}的前n项和Sn。

    解析：(1)∵，是方程f(x)＝0的两个根，

    ∴；

     (2)，

    ＝，∵，∴有基本不等式可知(当且仅当时取等号)，∴同，样，……，(n＝1，2，……)，

     (3)，而，即，

    ，同理，，又

    2.       已知数列的首项（a是常数，且），（），数列的首项，（）。

    （1）证明：从第2项起是以2为公比的等比数列；

    （2）设为数列的前n项和，且是等比数列，求实数的值；

    （3）当a>0时，求数列的最小项。

    分析：第（1）问用定义证明，进一步第（2）问也可以求出，第（3）问由的不同而要分类讨论。

    解：（1）∵

    ∴

    　　　(n≥2)

    由得，，

    ∵，∴ ，

    即从第2项起是以2为公比的等比数列。

    （2）

    当n≥2时，

    ∵是等比数列, ∴(n≥2)是常数，

    ∴3a+4=0，即 。

    （3）由（1）知当时，，

    所以，

    所以数列为2a+1，4a，8a-1，16a，32a+7，……

    显然最小项是前三项中的一项。

    当时，最小项为8a-1；

    当时，最小项为4a或8a-1；

    当时，最小项为4a；

    当时，最小项为4a或2a+1；

    当时，最小项为2a+1。

     

     点评：本题考查了用定义证明等比数列，分类讨论的数学思想，有一定的综合性。

    考点二：求数列的通项与求和

    3.       已知数列中各项为：

      12、1122、111222、……、  ……

                                                                                         

      （1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积.

      （2）求这个数列前n项之和Sn . 

     

    分析：先要通过观察，找出所给的一列数的特征，求出数列的通项，进一步再求和。

    解：（1） 

                       

    个

     = A (A+1) ，   得证

    (2)

     

     点评：本题难点在于求出数列的通项，再将这个通项“分成” 两个相邻正数的积，解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力。

    4.       已知数列满足，．

    （Ⅰ）求数列的通项公式；

    （Ⅱ）设，求数列的前项和；

    （Ⅲ）设，数列的前项和为．求证：对任意的，．

     

    分析：本题所给的递推关系式是要分别“取倒”再转化成等比型的数列，对数列中不等式的证明通常是放缩通项以利于求和。

    解：（Ⅰ），，

    又，数列是首项为，公比为的等比数列．

     ，　即.　　　　　　　　 　　

    （Ⅱ）．

    ．     

    （Ⅲ），

    ．                     

    当时，则

    ．

    ，   对任意的，．        

     点评：本题利用转化思想将递推关系式转化成我们熟悉的结构求得数列的通项，第三问不等式的证明要用到放缩的办法，这将到下一考点要重点讲到。

    考点三：数列与不等式的联系

    5.       已知为锐角，且，

    函数，数列{an}的首项.

        ⑴ 求函数的表达式；

        ⑵ 求证：；

    ⑶ 求证：

    分析：本题是借助函数给出递推关系，第（2）问的不等式利用了函数的性质，第（3）问是转化成可以裂项的形式，这是证明数列中的不等式的另一种出路。

    解：⑴    又∵为锐角

                ∴    ∴        

           ⑵       ∵     ∴都大于0

                ∴      ∴       

           ⑶   

    ∴            

                ∴

                           

    ∵,  ,  又∵

                ∴            ∴

                ∴

    点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第（3）问不等式的证明更具有一般性。

     

    6.       已知数列满足

    （Ⅰ）求数列的通项公式；

    （Ⅱ）若数列满足，证明：是等差数列；

    （Ⅲ）证明：

     

    分析：本例（1）通过把递推关系式转化成等比型的数列；第（2）关键在于找出连续三项间的关系；第（3）问关键在如何放缩。

    解：（1），

    故数列是首项为2，公比为2的等比数列。

    ，

    （2），

    ①

    ②

    ②―①得，即③

    ④

    ④―③得，即

    所以数列是等差数列

    （3）

    设，则

     

     点评：数列中的不等式要用放缩来解决难度就较大了，而且不容易把握，对于这样的题要多探索，多角度的思考问题。

    7.       已知函数,数列满足,

    ; 数列满足, .求证:

    （Ⅰ）

    （Ⅱ）

        （Ⅲ）若则当n≥2时,.

     

    分析：第（1）问是和自然数有关的命题，可考虑用数学归纳法证明；第（2）问可利用函数的单调性；第（3）问进行放缩。

    解：(Ⅰ)先用数学归纳法证明,.

        （1）当n=1时,由已知得结论成立;

        （2）假设当n=k时,结论成立,即.则当n=k+1时,

        因为0<x<1时,,所以f(x)在(0,1)上是增函数.

        又f(x)在上连续,所以f(0)<f()<f(1),即0<.

        故当n=k+1时,结论也成立. 即对于一切正整数都成立.

        又由, 得,从而.

        综上可知

        (Ⅱ)构造函数g(x)=-f(x)= , 0<x<1,

        由,知g(x)在(0,1)上增函数.

        又g(x)在上连续,所以g(x)>g(0)=0.

    因为,所以,即>0,从而

    (Ⅲ) 因为 ,所以, ,

        所以   ――――① ,

        由(Ⅱ)知:,  所以= ,

        因为, n≥2,

    所以 <<=――――② .

    由①② 两式可知: .

     

     点评：本题是数列、超越函数、导数的学归纳法的知识交汇题，属于难题，复习时应引起注意。

    考点四：数列与函数、向量等的联系

    8.       已知函数f(x)=，设正项数列满足=l，．

       (1)写出、的值;

     (2)试比较与的大小，并说明理由；

    (3)设数列满足=－，记Sn=．证明：当n≥2时,Sn＜(2n－1)．

    分析：比较大小常用的办法是作差法，而求和式的不等式常用的办法是放缩法。

    解：(1)，因为所以

    （2）因为所以

    ,

    因为所以与同号，

    因为，…，即

    （3）当时，

    ，

    所以，

    所以

     点评：本题是函数、不等式的综合题，是高考的难点热点。

     

    9.       在平面直角坐标系中，已知三个点列{An}，{Bn}，{Cn}，其中

        ，满足向量与向量共线，且点（B，n）在方向向量为（1，6）的

    线上

       （1）试用a与n表示；

       （2）若a6与a7两项中至少有一项是an的最小值，试求a的取值范围。

     

    分析：第（1）问实际上是求数列的通项；第（2）问利用二次函数中求最小值的方式来解决。

    解：（1）

    又∵{Bn}在方向向量为（1，6）的直线上，

      

    （2）∵二次函数是开口向上，对称轴为的抛物线

    又因为在a6与a7两项中至少有一项是数列{an}的最小项，

    ∴对称轴

     

     点评：本题是向量、二次函数、不等式知识和交汇题，要解决好这类题是要有一定的数学素养的。

     

     


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