2009届高考数学压轴题预测

专题四  解析几何

考点一  曲线（轨迹）方程的求法

1.       设上的两点，

满足，椭圆的离心率短轴长为2，0为坐标原点.

    （1）求椭圆的方程；

    （2）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；

    （3）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.

 解析：本例（1）通过，，及之间的关系可得椭圆的方程；（2）从方程入手，通过直线方程与椭圆方程组成方程组并结合韦达定理；（3）要注意特殊与一般的关系，分直线的斜率存在与不存在讨论。

 答案：（1）

椭圆的方程为 

   （2）设AB的方程为

由

由已知

    2

  （3）当A为顶点时，B必为顶点.S_△AOB=1    

当A，B不为顶点时，设AB的方程为y=kx+b

所以三角形的面积为定值.

  点评：本题考查了直线与椭圆的基本概念和性质，二次方程的根与系数的关系、解析几何的基本思想方法以及运用综合知识解决问题的能力。

2.       在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点为 A（0，－1），B（0, 1）平面内两点G、M同时满足① ,  ②= = ③∥    

（1）求顶点C的轨迹E的方程

（2）设P、Q、R、N都在曲线E上 ，定点F的坐标为（, 0） ，已知∥ ,  ∥且?= 0.求四边形PRQN面积S的最大值和最小值.

 解析：本例（1）要熟悉用向量的方式表达点特征；（2）要把握好直线与椭圆的位置关系，弦长公式，灵活的运算技巧是解决好本题的关键。

 答案：（1）设C ( x , y )， ,由①知,G为        

△ABC的重心 ，    G(,)   由②知M是△ABC的外心，M在x轴上

 由③知M（，0），

由  得

化简整理得：（x≠0）。

 （2）F（，0 ）恰为的右焦点

  设PQ的斜率为k≠0且k≠±，则直线PQ的方程为y = k ( x －)

由

设P(x₁ , y₁) ，Q (x₂ ,y₂ )  则x₁ + x₂ =  ,    x₁?x₂ =        

则| PQ | = ?

       =  ?

       =  

  RN⊥PQ,把k换成得 | RN | =   

  S =| PQ | ? | RN |

      =  =) 

≥2 ， ≥16

≤ S  < 2 ， (当 k = ±1时取等号)

又当k不存在或k = 0时S = 2

综上可得  ≤ S ≤ 2

 S_max = 2 ， S_min =   

  点评：本题考查了向量的有关知识，椭圆与直线的基本关系，二次方程的根与系数的关系及不等式，转化的基本思想方法以及运用综合知识解决问题的能力。

考点二  圆锥曲线的几何性质

3.       如图，F为双曲线C：的右焦点  P为双曲线C右支上一点，且位于轴上方，M为左准线上一点，为坐标原点  已知四边形为平行四边形， 

（Ⅰ）写出双曲线C的离心率与的关系式；

（Ⅱ）当时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，若，求此时的双曲线方程 

分析:  圆锥曲线的几何性质结合其它图形的考查是重点。注意灵活应用第二定义。

解：∵四边形是，∴，作双曲线的右准线交PM于H，则，又， 

（Ⅱ）当时，，，，双曲线为四边形是菱形，所以直线OP的斜率为，则直线AB的方程为，代入到双曲线方程得：，

又，由得：，解得，则，所以为所求

点评：本题灵活的运用到圆锥曲线的第二定义解题。

4.       设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线 

（Ⅰ）、求椭圆的方程；

（Ⅱ）、设为右准线上不同于点（4，0）的任意一点， 若直线分别与椭圆相交于异于的点，证明：点在以为直径的圆内 

分析：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力

解：（Ⅰ）依题意得 a＝2c，＝4，解得a＝2，c＝1，从而b＝ 

故椭圆的方程为   

（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0） 

设M（x₀，y₀） 

∵M点在椭圆上，∴y₀＝（4－x₀²）                 1

又点M异于顶点A、B，∴－2<x₀<2，由P、A、M三点共线可以得

P（4，） 

从而＝（x₀－2，y₀），

＝（2，） 

∴?＝2x₀－4＋＝（x₀²－4＋3y₀²）        2

将1代入2，化简得?＝（2－x₀） 

∵2－x₀>0，∴?>0，则∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角，

故点B在以MN为直径的圆内 

解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）  设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），

则－2<x₁<2，－2<x₂<2，又MN的中点Q的坐标为（，），

依题意，计算点B到圆心Q的距离与半径的差

－＝(－2）²＋（）²－[(x₁－x₂)²＋(y₁－y₂)²]

                 ＝（x₁－2) (x₂－2)＋y₁y₁                     3

又直线AP的方程为y＝，直线BP的方程为y＝，

而点两直线AP与BP的交点P在准线x＝4上，

∴，即y₂＝                       4

又点M在椭圆上，则，即        5

于是将4、5代入3，化简后可得－＝ 

从而，点B在以MN为直径的圆内 

点评：本题关键是联系直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力

考点三  直线与圆锥曲线位置关系问题

5.       已知抛物线C：上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1。

（1）求抛物线C的方程；

（2）若过焦点F的直线交抛物线于M、N两点，M在第一象限，且|MF|=2|NF|，求直线MN的方程；

（3）求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题．

    例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥的体积”．求出体积后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为，求所有侧面面积之和的最小值”．

   现有正确命题：过点的直线交抛物线C：于P、Q两点，设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过焦点F。

   试给出上述命题的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题。

解析：

答案：解：（1）

（2）设（t>0），则，F(1,0)。

因为M、F、N共线，则有，

所以，解得，

所以，

因而，直线MN的方程是。

（3）“逆向问题”一：

①已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线交抛物线C于P、Q两点，设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过定点。

证明：设过F的直线为y=k(x)，，，则

由得，所以， ， =，

所以直线RQ必过焦点A。

②过点的直线交抛物线C于P、Q两点，FP与抛物线交于另一点R，则RQ垂直于x轴。

③已知抛物线C：，过点B(m,0 )（m>0）的直线交抛物线C于P、Q两点，设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过定点A(-m,0)。

 “逆向问题”二：已知椭圆C：的焦点为F₁(-c,0)，F₂(c,0)，过F₂的直线交椭圆C于P、Q两点，设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过定点。

 “逆向问题”三：已知双曲线C：的焦点为F₁(-c,0)，F₂(c,0)，过F₂的直线交双曲线C于P、Q两点，设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过定点。

考点四  圆锥曲线的应用

（1）．圆锥曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。

6.       （2004年全国高考天津理科22题）椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（C，0）（C＞0）的准线L与X轴相交于点A，，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。

（1）求椭圆的方程及离心率；

（2）若 OP?O Q = 0，求直线PQ的方程；

（3）设 A P =  AQ（＞1），过点P且平行与准线L的直线与椭圆相交于另一点M，证明  FM = - FQ 。

分析：（1）要求椭圆的方程及离心率，很重要的一点就是要熟悉这种二次曲线的标准方程的中心、长轴长、短轴长、焦点坐标、标准方程、离心率、焦距等有关概念及几何性质。解：（1）根据已知条件“椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（C，0）（C＞0）的准线L与X轴相交于点A。” 可设椭圆的方程为 （a＞），从而有；又因可以有，联系以上这两个关于a、c的方程组并解得a=，c=2，所以椭圆的方程为，离心率e=。

（2）根据已知条件 “O P?O Q = 0” ，我们可设 P ，Q，把两个向量的数量积的形式转化为坐标表示的形式，再根据直线 PQ 经过 A（3，0），只须求出直线PQ的斜率K即可求出直线PQ的方程。而P、Q两点又在椭圆上，因此，我们容易想到通过直线y=k（x-3）与椭圆，联系方程组消去一个未知数y（或x）得，并利用一元二次方程的根与系数关系结合及不难求出k=，这里应特别注意K的值要保证＞0成立，否则无法保证直线PQ与椭圆有两个交点。

（3）要证F M =- F Q ，我们容易想到通过式中两个向量FM、FQ的坐标之间关系来谋求证题的方法。为此我们可根据题意“过点P且平行为准线L的直线与椭圆相交于另一点M”，求得点M坐标为。又因AP=AQ，易知FM、FQ的两个纵坐标已经满足，所以现在要考虑的问题是如何证明FM、FQ的两个横坐标应该满足，事实上，

注意到＞1，解得    ⑤

因F（2，0），M，故FM==。

  ==

又FQ=，因此FM=-FQ。

点评：本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质及相关概念，直线方程、平面向量的坐标表示和向量的数量积，多元二次方程组解法、曲线和方程的关系、直线与椭圆相交等解析几何的基础思想方法，以及分析问题和综合解题能力。

把两个向量之间的关系，转化为两个向量坐标之间的关系，再通过代数运算的方法来解决有关向量的问题是一种常用的解题手段。

7.       （江苏卷）已知，记点P的轨迹为E.

   （1）求轨迹E的方程；

   （2）若直线l过点F₂且与轨迹E交于P、Q两点.

       （i）无论直线l绕点F₂怎样转动，在x轴上总存在定点，使恒成立，求实数m的值.

       （ii）过P、Q作直线的垂线PA、OB，垂足分别为A、B，记，求λ的取值范围.

解析：

答案：解：（1）由知，点P的轨迹E是以F₁、F₂为焦点的双曲线右支，由，故轨迹E的方程为

   （2）当直线l的斜率存在时，设直线方程为，与双曲线方程联立消y得，

    解得k² >3

   （i）