2009届高考数学压轴题预测

专题1  函数

考点一：函数的性质与图象

1.       已知，函数。设，记曲线在点处的切线为。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m  

(Ⅰ)求的方程；

(Ⅱ)设与轴交点为。证明：

① ；

② 若，则

(Ⅰ)分析：欲求切线的方程，则须求出它的斜率，根据切线斜率的几何意义便不难发现，问题归结为求曲线在点的一阶导数值。

解：求的导数：，由此得切线的方程：

。

(Ⅱ)分析：①要求的变化范围，则须找到使产生变化的原因，显然，变化的根本原因可归结为的变化，因此，找到与的等量关系式，就成；② 欲比较与的大小关系，判断它们的差的符号即可。

证：依题意，切线方程中令y＝0，

.

①                   由

.

②

。

点评：本小题主要考查利用导数求曲线切线的方法，考查不等式的基本性质，以及分析和解决问题的能力。

考点二：二次函数

2.       已知二次函数，设方程的两个实数根为和.

(1)如果，设函数的对称轴为，求证：；

(2)如果，，求的取值范围.

分析：条件实际上给出了的两个实数根所在的区间，因此可以考虑利用上述图像特征去等价转化.

解：设，则的二根为和.

(1)由及，可得  ，即，即

两式相加得，所以，;

(2)由， 可得  .

又，所以同号.

∴ ，等价于或，

即   或

解之得  或.

点评：在处理一元二次方程根的问题时，考察该方程所对应的二次函数图像特征的充要条件是解决问题的关键。

考点三：抽象函数

3.       A是由定义在上且满足如下条件的函数组成的集合：①对任意，都有 ； ②存在常数，使得对任意的，都有

(Ⅰ)设，证明：

(Ⅱ)设，如果存在，使得，那么这样的是唯一的;

(Ⅲ)设，任取，令证明:给定正整数k，对任意的正整数p，成立不等式

解：对任意，，，，所以

对任意的，

，

，

所以0＜，

令＝，，

所以

反证法:设存在两个使得，则

由，得，所以，矛盾，故结论成立。

，所以

＋…

点评：本题以高等数学知识为背景，与初等数学知识巧妙结合，考查了函数及其性质、不等式性质，考查了特殊与一般、化归与转化等数学思想。

考点四：函数的综合应用

4.       设函数．

(Ⅰ)求的最小值；

(Ⅱ)若对恒成立，求实数的取值范围．

解：(Ⅰ)，

当时，取最小值，

即．

(Ⅱ)令，

由得，(不合题意，舍去)．

当变化时，的变化情况如下表：

(0，1)

(1，2)

递增

极大值

递减

在内有最大值．

在内恒成立等价于在内恒成立，

即等价于，

所以的取值范围为．

点评：本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力．

5.       乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米／时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 v(千米／时)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元.

 ① 把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米／时)的函数，并指出函数的定义域；

 ② 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？    

分析：几个变量(运输成本、速度、固定部分)有相互的关联，抽象出其中的函数关系，并求函数的最小值.

解：(读题)由主要关系：运输总成本＝每小时运输成本×时间，

(建模)有y＝(a＋bv)

(解题)所以全程运输成本y(元)表示为速度v(千米／时)的函数关系式是：

y＝S(＋bv)，其中函数的定义域是v∈(0，c] .

整理函数有y＝S(＋bv)＝S(v＋)，

由函数y＝x＋ (k＞0)的单调性而得：

当＜c时，则v＝时，y取最小值；

当≥c时，则v＝c时，y取最小值.

综上所述，为使全程成本y最小，当＜c时，行驶速度应为v＝；当≥c时，行驶速度应为v＝c.

点评：1.对于实际应用问题，可以通过建立目标函数，然后运用解(证)不等式的方法求出函数的最大值或最小值，其中要特别注意蕴涵的制约关系，如本题中速度v的范围，一旦忽视，将出现解答不完整.此种应用问题既属于函数模型，也可属于不等式模型.

6.       设函数.

(1)在区间上画出函数的图像；

(2)设集合. 试判断集合和之间的关系，并给出证明；

(3)当时，求证：在区间上，的图像位于函数图像的上方.

解：(1)

    (2)方程的解分别是和，由于在和上单调递减，在和上单调递增，因此

.

    由于. 

  (3)[解法一] 当时，.

               ，

       . 又，

       ①  当，即时，取，

       .

       ，

       则. 

       ②  当，即时，取，    ＝.

    由 ①、②可知，当时，，.

    因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方.

    [解法二] 当时，.

由 得，

    令 ，解得 或，

在区间上，当时，的图像与函数的图像只交于一点； 当时，的图像与函数的图像没有交点.

如图可知，由于直线过点，当时，直线是由直线绕点逆时针方向旋转得到. 因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方. 

7.       设f(x)＝3ax，f(0)＞0，f(1)＞0，求证：

(Ⅰ)a＞0且－2＜＜－1；

(Ⅱ)方程f(x)＝0在(0，1)内有两个实根.

(I)证明：因为，所以.

由条件，消去，得；

由条件，消去，得，.

故.

(II)抛物线的顶点坐标为，

在的两边乘以，得.

又因为而

所以方程在区间与内分别有一实根。

故方程在内有两个实根.

8.       已知定义域为的函数是奇函数。

(Ⅰ)求的值；

(Ⅱ)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；

解：(Ⅰ)因为是奇函数，所以＝0，即

          又由f(1)＝ －f(－1)知

     (Ⅱ)解法一：由(Ⅰ)知，易知在上

为减函数。又因是奇函数，从而不等式：  

等价于，因为减函数，由上式推得：

．即对一切有：，

从而判别式

解法二：由(Ⅰ)知．又由题设条件得：　　　　　　　　　，

　　即　：，

整理得　

上式对一切均成立，从而判别式

9.       设函数f(x)＝其中a为实数.

(Ⅰ)若f(x)的定义域为R，求a的取值范围;

(Ⅱ)当f(x)的定义域为R时，求f(x)的单减区间.

解：(Ⅰ)的定义域为，恒成立，，

，即当时的定义域为．

(Ⅱ)，令，得．

由，得或，又，

时，由得；

当时，；当时，由得，

即当时，的单调减区间为；

当时，的单调减区间为．

10.    已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．

(I)用表示，并求的最大值；

(II)求证：()．

解：(Ⅰ)设与在公共点处的切线相同．

，，由题意，．

即由得：，或(舍去)．

即有．

令，则．于是

当，即时，；

当，即时，．

故在为增函数，在为减函数，

于是在的最大值为．

(Ⅱ)设，

则．

故在为减函数，在为增函数，

于是函数在上的最小值是．

故当时，有，即当时，．