2009届高考数学压轴题预测

专题六  导  数

1.       设函数，（1）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；（2）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于．

解析：（1），依题意有，故．

从而．

的定义域为，当时，；

当时，；当时，．

从而，分别在区间单调增加，在区间单调减少．

（2）的定义域为，．

方程的判别式．

①若，即，在的定义域内，故的极值．

②若，则或．若，，．

当时，，当时，，所以无极值．若，，，也无极值．

③若，即或，则有两个不同的实根，．

当时，，从而有的定义域内没有零点，故无极值．

当时，，，在的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知在取得极值．

综上，存在极值时，的取值范围为．的极值之和为

．

答案： （1）；（2）见详解。

点评：本题主要考查对极值概念的理解以及对函数导数的综合运用。

2.       已知函数处取得极值2。

   （Ⅰ）求函数的解析式；

   （Ⅱ）当m满足什么条件时，在区间为增函数；

   （Ⅲ）若图象上任意一点，直线的图象切于P点，求直线L的斜率的取值范围。

解：（Ⅰ）

由已知

   （Ⅱ）

又在

）

   （Ⅲ）直线I在P点的切线斜率

令

当

）

3.       设是的两个极值点，的导函数是

（Ⅰ）如果 ，求证：  ；

（Ⅱ）如果 ，求的取值范围 ；

（Ⅲ）如果 ，且时，函数的最小值为 ，求的最大值。

（I）证明：  是方程的两个根   1分

由且得         2分

得                                         

                            3分

（Ⅱ）解：由第（1）问知 由 ，两式相除得

 即        4分

①当时，由  即

 ，                  5分

令函数，则

在上是增函数

当时， ，即  7分

②当时，  即

令函数则同理可证在上是增函数

当时，           

综①②所述，的取值范围是           

（Ⅲ）解：的两个根是 ，可设

          10分

           又

             g(x)

          当且仅当 ，即 时取等号

          当时，

         在上是减函数