2009年龙岩市高中毕业班质量检查
数学（理科）试题
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共4页. 全卷满分150分，考试时间120分钟.
参考公式：
样本数据x1，x2，…，xn的标准差：
s=
，其中
为样本平均数；
柱体体积公式：V=Sh ，其中S为底面面积，h为高；
锥体体积公式：V=
Sh，其中S为底面面积，h为高；
球的表面积、体积公式：
，
，其中R为球的半径.
第I卷（选择题 共50分）
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一
1.
已知复数
，则
的共轭复数是
A.
B.
C.
D.
2. 正项等比数列
中，若
，则
等于
A. -16 B. 10 C. 16 D. 256
3. 已知随机变量
，若
，则
等于
4. 已知两个向量a、b满足a
b =－
，| a |=4，a和b的夹角为135°，则| b
|为
A. 12 B.
3 C. 6 D.
5.
若
，且
, 则实数
的值为
Ａ. 1或3 Ｂ. -3 C. 1 Ｄ. 1或 -3
6.
实数
、
满足
则=
的取值范围是
A.
[－1,0] B.
－∞,0] C.
[－1,+∞
D.
[－1,1
7. 过抛物线
的焦点作直线
交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则
等于
A．10 B．8 C．6 D．4
8. 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为
，得2分的概率为
，得0分的概率为0.5（投篮一次得分只能3分、2分、1分或0分），其中、
，已知他投篮一次得分的数学期望为1，则
的最大值为
A．
B．
C．
D．
9. 设函数
则函数
的零点个数为
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
10. 如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差.设数列
是首项为2，公方差为2的等方差数列，若将
这种顺序的排列作为某种密码，则这种密码的个数为
A. 18个 B. 256个 C. 512个 D. 1024个
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题４分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.
11.
假设关于某设备的使用年限和所支出的维修费（万元），有如下的统计资料
使用年限
2
3
4
5
6
维修费用
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
若由资料可知和呈相关关系，由表中数据算出线性回归方程
中的
=
，据此估计，使用年限为10年时的维修费用是 万元.
（参考公式：
，
）
12. 已知某算法的流程图如图所示，
则输出的结果是_______________.
13. 一个空间几何体的三视图如图所示，其正视图、侧视图、
俯视图均为等腰直角三角形，且直角边长都为1，则它的
外接球的表面积是 .
14. 设函数
(
)，若
，
，则
=
.
15. 已知集合
,
有下列命题
①若
则
.
②若
则
.
③若
则
的图象关于原点对称.
④若
则对于任意不等的实数
，总有
成立.
其中所有正确命题的序号是 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. （本小题满分13分）
已知
的三个内角
、
、
所对的边分别为
、、
,且
，
.
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）当
时，求函数
的最大值.
17.（本小题满分13分）
如图，正方形
所在平面与等腰直角三角形
所在平面
互相垂直，
，点
分别为
的中点.
（Ⅰ）求证：
∥平面
；
（Ⅱ）线段
上是否存在一点
，使
与平面
所成角的正弦值为
？若存在，请求出
的
值；若不存在，请说明理由．
18. （本小题满分13分）
某电脑生产企业生产一品牌笔记本电脑的投入成本是4500元/台. 当笔记本电脑销售价为6000元/台时，月销售台；根据市场分析的结果表明，如果笔记本电脑的销售价提高的
百分率为
，那么月销售量减少的百分率为
.记销售价提高的百分率为时，
电脑企业的月利润是（元）.
（Ⅰ）写出月利润（元）与的函数关系式；
（Ⅱ）试确定笔记本电脑的销售价，使得电脑企业的月利润最大.
19.（本小题满分13分）
|
(4,0)且不与坐标轴垂直的直线
.
过
面积的取值范围.
.
的单调递增区间；
，且
,记数列
的前n项和为
，
.
是否仍为数列
为首项是
,公差
的等差数列，求证：“数列
，使
”.
在矩阵
对应变换的作用下得到的点为
，求矩阵
．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为
参数），点
是曲线
|的最小值．
满足
且
的最大值是7，求
14. 
15.
②③
，知
………………………（2分）
，得
， 
，
………………………（5分）
………………………（6分）
，
………………………………（9分）
，
，即
时，
取得最大值为
． ……………（13分）
17. 本题主要考查线线、线面、面面位置关系，线面角等基本知识，考查空间想像能力，运算求解能力和推理论证能力.
满分13分.
解：（Ⅰ）证明：如图，取
中点
，连结
，
；
，
∥
，
，
，
，…………（3分）
为平行四边形，
∥
平面
，
平面
平面
，
，
平面
，
为原点，建立空间直角坐标系
，可得
、
、
，
.
， 
得
，
．
………………………（9分）
上存在一点
，其中
，则
，
，
，即
，
，解得
（舍去）．
． …………（13分）
）元/台，月销售量为
台……………（2分）
……………………（4分）
． ……………………（6分）
，得
，
舍去）．
……………………（9分）
当
时，
取得最大值．
元．
19．本题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查运算求解能力和分析问题、解决问题的能力.
满分13分
的一个焦点是（1，0），所以半焦距
=1.
，解得
. …（4分）
（Ⅱ）（i）设直线
：
与
.
，
，
，
. ……………（5分）
，得
，
（
，0），
，即
.
，解得
. 
过定点
……………（10分）
, 令
，得
，当
时，
.
上为增函数. 
，
.
.
……………（13分）
，
.
………………（1分）
时，
.
时，由
，得到
，知在
上
时，由
上
时，
递增区间为
递增区间为
.
………………………………………（4分）
，
，即
，
，即
. ……………………………………（6分）
，
时，
，
时，
，
.
…………………………（8分）
，
，则
与
矛盾，所以
不在数列
中. ………（9分）
，使
.
为数列
中不同的两项，则
.
且
.
是数列
项. ……………………（10分）
，
，（
，
，令
，
，
，令整数
，所以
则
.令
，
使
，所以
与
相矛盾，所以
，即
，
得
……………………（4分）
，由
得
.
=1
, 
可化为
,
，即
. ……………（2分）
.
……………………（5分）
的最小值为
.
…………………………（７分）
. …………（3分）
，即
. 
的最大值是7,所以
，得
，
时，