2009年福建省厦门市高中毕业班适应性考试数学（理科）试卷
注意事项：
1.本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名；
2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.
参考公式：
柱体体积公式：
，其中
为底面面积、
为高；
锥体体积公式：
，其中为底面面积，为高；
独立性检验随机变量
临界值表
0.50
0.40
0.25
0.16
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）
一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的）
1．如果复数
的实部和虚部相等，则实数
的值是
A．
B．
C．
D．
2．已知a>0，命题
，则
．
是假命题，
：
．是假命题，：
．是真命题，：
．是真命题，：
3．积分
的值是
A. 1 B. e C. e+1 D. e2
4．执行右边的程序框图，若输出y的值为2，则输入的x应该是
A．或
B．或
C． D．或
5．点P满足向量
=2
-
,则点P与AB的位置关系是
A. 点P在线段AB上 B. 点P在线段AB延长线上
C. 点P在线段AB反向延长线上 D. 点P在直线AB外
6．函数f(x)=
的图象大致是
7．为了了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机选取了60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：
作文成绩优秀
作文成绩一般
合 计
课外阅读量较大
22
10
32
课外阅读量一般
8
20
28
合 计
30
30
60
由以上数据，计算得出
．根据临界值表，以下说法正确的是
A．没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
B. 有0.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
C．有99.9%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
D．有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
8．如图，已知三棱柱ABC-
的所有棱长均为1，且A
A．
B． 
C． 
D．
9．函数
，给出下列四个命题
（1）函数在区间
上是减函数；
（2）直线
是函数图象的一条对称轴；
（3）函数
的图象可由函数
的图象向左平移
而得到；
（4）若 
，则 的值域是
其中正确命题的个数是
A．1
B．
10．学习合情推理后，甲、乙两位同学各举一个例子.
甲:由“若三角形周长为l,面积为S,则其内切圆半径r =
”类比可得“若三棱锥表面积为S,体积为V,则其内切球半径r =
”;
乙: 由“若直角三角形两直角边长分别为a、b,则其外接圆半径r =
” 类比可得“若三棱锥三条侧棱两两垂直, 侧棱长分别为a、b、c,则其外接球半径r =
”.这两位同学类比得出的结论
A.两人都对 B.甲错、乙对 C. 甲对、乙错 D. 两人都错
第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）
二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，将答案填在题后的横线上．）
11．已知等比数列
各项均为正数,前
项和为
，若
，
．
则
▲▲▲ ．
12．
的展开式中常数项是
▲▲▲ ．
13．设满足
的点
构成的区域为D，又知区域D内的每一个点都在区域M内．为了测算区域M的面积，向区域M内随机抛入10000个质点，经统计，落在区域D内的质点有2500个，则区域M的面积大约是
▲▲▲
．
14．设F为抛物线
的焦点，点A在抛物线上，O为坐标原点，若
，且
，则抛物线的焦点到准线的距离等于 ▲▲▲ .
15．如果一个自然数，我们可以把它写成若干个连续自然数之和，则称为自然数的一个“分拆”．如
，我们就说“
”与“
”是
的两个“分拆”．请写出
的三个“分拆”：= ▲▲▲
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. （本小题满分13分）
从某高校新生中随机抽取100名学生，测得身高情况如下表所示.
（I）请在频率分布表中的①、②位置填上相应的数据，并在所给的坐标系中补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计众数的值；
（II）按身高分层抽样，现已抽取20人参加厦门国际马拉松志愿者活动，其中有3名学生担任迎宾工作，记这3名学生中“身高低于
分组
频数
频率
5
0.050
①
0.200
35
②
30
0.300
10
0.100
合计
100
1.00
 |
17. （本小题满分13分）
已知某几何体的直观图和三视图如下图所示, 其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.
(Ⅰ)证明：BN⊥平面C1B1N；
(Ⅱ)设二面角C－NB1－C1的平面角为
，求cos的值；
(Ⅲ)M为AB中点，在CB上是否存在一点P，使得MP∥平面CNB1，若存在，求出BP的长;若不存在，请说明理由.
 |
|||
 |
|||
18. （本小题满分13分）
某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下办法：在岸边设置两个观察点A、B ，且 AB =
19. （本小题满分13分）
在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-2, 0)、B(2, 0), 动点C满足条件：△ABC的周长为10, 记动点C的轨迹为曲线M.
(Ⅰ) 求曲线M的方程；
(Ⅱ) 若直线l与曲线M相交于E、F两点，若以EF为直径的圆过点D(3，0)，求证：直线
恒过定点，并求出该定点的坐标．
20. （本小题满分14分）
设函数f(x)=
+
(
).
(Ⅰ)若函数f(x)在x=1处有极值, 且函数g(x)=f(x)+b在(0,+∞)上有零点，求b的最大值；
(Ⅱ)若f(x)在(1，2)上为单调函数，求实数a的取值范围；
(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下，数列{an}中a1=1， an+1= f(an)- f '(an). 求|an+1-an|的最小值.
21.本题有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分. 如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中
（1）（本小题满分7分）选修4―2：矩阵与变换
已知矩阵
的一个特征根为
,属于它的一个特征向量
.
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）点P(1, 1)经过矩阵M所对应的变换,得到点Q，求点Q的坐标.
（2）（本小题满分7分）选修4―4：坐标系与参数方程
已知曲线C的极坐标方程是
，设直线l的参数方程是
（t为
参数）．判断直线l和曲线C的位置关系．
（3）（本小题满分7分）选修4―5：不等式选讲
已知
≤1的解集为
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）若
求证：
.
2009年厦门市高中毕业班适应性考试
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算. 每题5分，满分50分.
1. B 2.A 3.D 4.D 5.C 6.B 7.D 8.A 9.B 10.C
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算. 每题4分，满分20分.
11. 31 12. 15 13. 16 14. 4
15. 16+17+18+19=12+13+14+15+16=7+8+9+10+11+12+13.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．本题主要考查频率分布表、直方图、众数、分层抽样、分布列、期望等统计概率知识，考查学生运用所学知识解决实际应用问题的能力。满分13分.
解：（I）①处填20，②处填0.35；
众数为
补全频率分布直方图如图所示。
…………6分
（Ⅱ）用分层抽样的方法，从中选
取20人,则其中“身高低于
的有5人，“身高不低于
的有15人。 ……7分
故ξ的可能取值为0，1，2，3；
…………………10分
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
…………11分
所以：
…………13分
17. 本题主要考查三视图,线面位置关系，二面角的求法等基本知识，考查空间想像能力，探索运算求解能力和推理论证能力. 满分13分.
法一:(Ⅰ)证明∵该几何体的正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形,
∴BA,BC,BB1两两垂直.
以BA,BC,BB1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,……1分
则N(4,4,0),B1(0,8,0),C1(0,8,4),C(0,0,4)
∵
=(4,4,0)?(-4,4,0)=-16+16=0
=(4,4,0)?(0,0,4)=0
……3分
∴BN⊥NB1, BN⊥B
∴BN⊥平面C1B1N; ……4分
(Ⅱ)∵BN⊥平面C1B1N, 
是平面C1B1N的一个法向量
=(4,4,0),
……5分
设
=(x,y,z)为平面NCB1的一个法向量,
则
，取=(1,1,2), …7分
则cosθ=
=
=
;
……9分
(Ⅲ)∵M(2,0,0).设P(0,0,a)为BC上一点,则
=(-2,0,a)，∵MP∥平面CNB1,
∴⊥?=(-2,0,a) ?(1,1,2)=-2+ a
又MP
平面CNB1, ∴MP∥平面CNB1, ∴当BP=1时MP∥平面CNB1. ……13分
法二:(Ⅰ)证明:由已知得B
BN=4
= B1N,BB1=8, ∴BB12= BN2+ B1N2, ∴BN⊥B1N
又B
(Ⅱ)过N作NQ
B
BCQN,又BN⊥平面C1B1N,
∴CQ⊥平面C1B1N,则CQ⊥B1N, QN⊥B1N ,∴∠CNQ是二面角C-B1N-Q的平面角θ,
在Rt△CNQ中,NQ=4,CQ=4, ∴CN=4,cosθ=
=;
(Ⅲ)延长BA、B1N交于R,连结CR,∵MP∥平面CNB1,
MP
平面CBR, 平面CBR∩平面CRN于CR,
∴MP∥CR, △RB1B中AN
BB1,∴A为RB中点,
∴
=
=
,∴BP=1,因此存在P点使MP∥平面CNB1.
……………13分
18.本题主要考查学生运用正弦和余弦定理解决与三角形有关的实际问题的能力，考查学生的运算能力以及化归与转化的数学思想方法。满分13分.
法一:1、在△ABC中,∵∠BAD=90°,∠ABD=45°,∴∠ADB=45°…2分
……………………4分
在
中，
……………6分
在
中，DC2=DB2+BC2-2DB?BCcos60°=(80)2+(40)2-2×80×40×
=9600 ……………10分
………………11分
航模的速度
（米/秒）
……………12分
答：航模的速度为2
（米/秒）
……………13分
法二:（略解）、在
中，
中
在 
中，DC2=AD2+AC2-2AD?ACcos60°=9600
……………10分
……………11分
航模的速度（米/秒） ………12分
答：航模的速度为2（米/秒） ……………13分
法三:（略解）、如图建立直角坐标系，
则A(0，0)， B(80，0)， D(0，80） …………2分
由，AC=40（1+
）,∴C(60+20,20+20)
……………7分
……………11分
航模的速度（米/秒）
……………12分
答：航模的速度为2（米/秒） ……………13分
19、本题主要考查直线、圆与椭圆的位置关系等基本知识，考查运算求解能力和探索求解、分析问题、解决问题的能力. 满分13分
解： (Ⅰ) 设C（x, y）, ∵ 
, 
, ∴ 
,
∴ 由定义知,动点C的轨迹是以A、B为焦点,长轴长为6的椭圆,除去与x轴的两个交点.
设椭圆方程为
则a=3,c=2.∴b2=a2-c2=5.∴ 曲线M的方程为: 
(y≠0).(缺y≠0的扣1分)……5分
(Ⅱ)法一: 即要使DE⊥DF, 用特值法kDE=1,
由
得14y2+30y=0,又y≠0, ∴y=-
,代入DE得x=
,
由对称性知定点在x轴上, ∴最多只有定点Q
……8分
设直线DE的方程为x=my+3,E(x1,y1),
由
得(
∴E(
,-),
…………………10分
同理F(
,
)
…………………11分
kQE-kQF=
-
=
-=0
得E、Q、F三点共线,得出定点坐标为．
…………………13分
法二:当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yx=kx+m,E(x1,y1),F(x1,y1)，
由
得
，
由△=(18mk)2-36(5+9k2)(m2-5)>0, 得5+9k2- m2>0,
………………………8分
又
，
因为以EF为直径的圆过点
等价于
，即
，
，
.解得：
，
，且均满足
，
当m1=-3k时，l的方程为y=k(x-3)，直线过点Q(3,0)，因为点Q不在曲线M上，此时l与曲线M没有两个公共点，不合题意；
当
时，
的方程为
，直线过定点． ……………11分
当直线l的斜率不存在时，直线
与曲线M交于
两点，此时
，由，得
，点
在曲线M上，
，所以
，解得
，即直线 
满足条件.
∴直线过定点，定点坐标为．
……………………………13分
20. 本题主要考查函数、导数的基本知识及用导数处理函数性质，递推数列及不等式、数学归纳法等基础知识，同时考查考生函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转化思想等及推理论证能力、运算求解能力及创新意识．满分14分.
解: (Ⅰ)f '(x)= 
-
,又函数f(x)在x=1处有极值,∴f '(1)=0,a=1,经检验符合题意 ……2分
g'(x)= -
,
当x∈(0,1)时, g'(x)<0, g(x)为减函数, 当x =1时,g'(x)=0, 当x∈(1,+∞)时g'(x)>0，g(x)为增函数,∴g(x)在x =1时取得极小值g(1)=2+b,依题意g(1)≤0, ∴b≤-2,
∴b的最大值为-2; ………………………………………………4分
(Ⅱ)f '(x)= -,
当f (x)在(1，2)上单调递增时, -≥0在[1，2]上恒成立, ∴a ≤x2,令h(x)= x2,
则h'(x)= 
同步练习册答案
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