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    绝密★启用前                                                        

    2005年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）

    数学（理工农医类）

    YCY

    本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

     

    第I卷（选择题  共40分）

     

    注意事项：

    1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．

    2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡

    皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．

     

    一、本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选择出符合题目要求的一项.

    2．“”是“直线相互垂直”的                                                    （    ）

           A．充分必要条件                                    B．充分而不必要条件

           C．必要而不充分条件                             D．既不充分也不必要条件

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    3．| a |=1，| b |=2，c = a + b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为                              （    ）

           A．30°                   B．60°                   C．120°                 D．150°

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    4．从原点向圆作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为（   ）

           A．π                      B．2π                     C．4π                     D．6π

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    5．对任意的锐角，下列不等关系中正确的是                                                  （    ）

           A．               B．

           C．               D．

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    6．在正四面体P―ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是                                                     （    ）

           A．BC//平面PDF                                    B．DF⊥PAE

           C．平面PDF⊥平面ABC                         D．平面PAE⊥平面ABC

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    7．北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为       （    ）

           A．         B．          C．         D．

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    8．函数                                                                                  （    ）

           A．在上递减

           B．在上递减

           C．在上递减

           D．在上递减

     

    第Ⅱ卷（共110分）

    注意事项：

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           1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上.

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           2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.

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    二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上.

    9．若为纯虚数，则实数a的值为           .

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    10．已知的值为            ，的值为           .

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    11．的展开式中的常数项是          . （用数字作答）

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    12．过原点作曲线的切线，则切点的坐标为           ，切线的斜率为        .

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    13．对于函数定义域中任意的，有如下结论：

           ①；             ②；

           ③                            ④

        当时，上述结论中正确结论的序号是               .

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    14．已知n次式项式.

        如果在一种算法中，计算的值需要k－1次乘法，计算P3（x0）的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算P10（x0）的值共需要             

        次运算.

           下面给出一种减少运算次数的算法：P0（x）=a0，Pk+1（x）=xPk（x）+ak+1（k=0，1，2，…，n－1）.利用该算法，计算P3（x0）的值共需要6次运算，计算P10（x0）的值共需要

                次运算.

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    三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

    15．（本小题共13分）

           已知函数

       （Ⅰ）求的单调减区间；

    （Ⅱ）若在区间[－2，2].上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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    16．（本小题共14分）

      如图，在直四棱柱ABCD―A1B1C1D1中，AB=AD=2，DC=，

    AC⊥BD，垂足为E.

       （Ⅰ）求证BD⊥A1C；

       （Ⅱ）求二面角A1―BD―C­1的大小；

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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    17．（本小题共13分）

           甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为

       （Ⅰ）记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望Eξ；

    （Ⅱ）求乙至多击中目标2次的概率；

    （Ⅲ）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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    18．（本小题共14分）

           如图，直线l1：与直线l2：之间的阴影区域（不含边界）记为W，其左半部分记为W1，右半部分记为W2.

       （Ⅰ）分别用不等式组表示W1和W2；

       （Ⅱ）若区域W中的动点P（x，y）到l1，l2的距离之积等于d2，求点P的轨迹C的方程；

    （Ⅲ）设不过原点O的直线l与（Ⅱ）中的曲线C相交于M1，M2两点，且与l1，l2分别

    交于M3，M4两点. 求证△OM1M2的重心与△OM3M4的重心重合.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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    19．（本小题共12分）

    设数列 

    记

       （Ⅰ）求a2，a3；

       （Ⅱ）判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；

       （Ⅲ）求

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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    20．（本小题共14分）

    设是定义在[0，1]上的函数，若存在上单调递增，在[x*，1]上单调递减，则称为[0，1]上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间.

    对任意的[0，1]上的单峰函数，下面研究缩短其含峰区间长度的方法.

       （Ⅰ）证明：对任意的为含峰区间；

    若为含峰区间；

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       （Ⅱ）对给定的r（0<r<0.5），证明：存在，使得由（Ⅰ）所确定的含峰区间的长度不大于0.5+r；

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       （Ⅲ）选取，由（Ⅰ）可确定含峰区间为（0，）或（，1），在所得的含峰区间内选取类似地可确定一个新的含峰区间，在第一次确定的含峰区间为（0，）的情况下，试确定的值，满足两两之差的绝地值不小于0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34.

       （区间长度等于区间的右端点与左端点之差）

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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    一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

    1―5：CBCBD  6―10：DCAA

    二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

    9．   10．   11．15  12．（1，e） e  13．②③  14．

    三、解答题（本大题共6小题，共80分）

    15．（共13分）

    解：（I） 令，解得

    所以函数的单调递减区间为

    （II）因为

    所以

    因为在（－1，3）上，所以在[－1，2]上单调递增，又由于在

    [－2，－1]上单调递减，因此和分别是在区间[－2，2]上的最大值和

    最小值.

    于是有，解得

    故  因此

    即函数在区间[－2，2]上的最小值为－7.

    解法一：

       （Ⅰ）在直四棱柱ABCD―A1B1C1D1中，

    ∵A1A⊥底面ABCD，

    ∴AC是A1C在平面ABCD上的射影，

    ∵BD⊥AC， ∴BD⊥A1C.

       （Ⅱ）连结A1E，C1E，A1C1.

    与（Ⅰ）同理可证BD⊥A1E，BD⊥C1E，

    ∴∠A1EC1二面角A1―BD―C1的平面角.

    ∵AD⊥DC， ∴∠A1D1C1=∠ADC=90°，

    又A1D1=AD=2，D1C1=DC=2， AA1=，且AC⊥BD，

    ∴A1C1=4，AE=1，EC=3，  ∴A1E=2，C1E=2，

    在△A1EC1中，A1C12=A1E2+C1E2，  ∴∠A1EC1=90°，

    即二面角A1―BD―C1的大小为90°.

       （Ⅲ）过B作BF//AD交AC于F，连结FC1，

        则∠C1BF就是AD与BC1所成的角.

    ∵AB=AD=2，BD⊥AC，AE=1，  ∴BF=2，EF=1，FC=2，BC=DC，

    ∴FC1=.  在△BFC1中，

    ∴

    即异面直线AD与BC1所成角的大小为.

    解法二：

    （Ⅰ）同解法一.

    （Ⅱ）如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.

    与（Ⅰ）同理可证，BD⊥A1E，BD⊥C1E，

    ∴∠A1EC1为二面角A1―BD―C1的平面角.

    （Ⅲ）如图，由D（0，0，0），A（2，0，0），C1（0，，，），B（3，，0）

    ∴异面直线AD与BC1所成角的大小为arccos.

    解法三：

    （II）如图，建立空间直角坐标系，坐标原点为E.

         连结A1E，C1E，A1C1.

         与（I）同理可证，BD⊥A1E，BD⊥C1E，

         ∴∠A1EC1为二面角A1―BD―C1的平面角.

         由E（0，0，0），A1（0，－1，

         

    .

        （Ⅲ）如图，由A（0，－1，0），D（，0，0），B（，0，0），C1（0，3，）.

    得.

    ∵

    ∴

    ∴异面直线AD与BC1所成角的大小为arccos.

    17．（共13分）

    解：（Ⅰ）

    ξ的概率分布如下表：

    ξ

    0

    1

    2

    3

    P

    Eξ=0?+1?+2?+3?=1.5   （或Eξ=3?）

       （Ⅱ）乙至多击中目标2次的概率为

       （Ⅲ）设甲恰比乙多击中目标2次为事件A，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B1，甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件B2，则A=B1+B2，B1、B2为互斥事件.

        P（A）=P（B1）+P（B2）=

        所以，甲恰好比乙多击中目标2次的概率为

    18．（共14分）

           解：（I）

          

           （II）直线由题意得

          

       （III）当直线l与x轴垂直时，可设直线l的方程为. 由于直线l，曲线C关于x轴对称，且l1与l2关于x轴对称，于是M1M2，M3M4的中点坐标都为（a，0），所以△OM1M2，△OM3M4的重心坐标都为，即它们的重心重合.

           当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为

           由

           由直线l与曲线C有两个不同交点，可知

          

          

           于是△OM1M2的重心与△OM3M4的重心也重合.

    19．（共12分）

    解：（Ⅰ）

    （Ⅱ）因为

    所以

    猜想：是公比为的等比数列.

    证明如下： 因为

    所以是首项为的等比数列.

    （Ⅲ）

    20．（共14分）

       （Ⅰ）证明：设的峰点，则由单峰函数定义可知，上单调递增，

    在上单调递减.

    当，

    这与是含峰区间.

    当

    这与是含峰区间.

    （II）证明：由（I）的结论可知：

       当f(x1)≥f(x2)时，含峰区间的长度为l1=x2；

       当f(x1)≤f(x2)时，含峰区间的长度为l2=1－x1；

       对于上述两种情况，由题意得

        ①   由①得1+x2－x1≤1+2r，即x2－x1≤2r.

    又因为x2－x1≥2r，所以x2－x1=2r，所以    x2－x1=2r.  ②

    将②代入①得     x1≤0.5－r, x2≥0.5+r.   ③

    由①和③解得x1=0.5－r, x2=0.5+r.       

    所以这时含峰区间的长度l1=l2=0.5+r，即存在x1 , x2使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5+r.

    （Ⅲ）解：对先选择的x1, x2, x1 <x2， 由（II）可知    x1+x2=1，   ④

    在第一次确定的含峰区间为（0，x2）的情况下，x3的取值应满足   x3+x1=x2 , ⑤

    由④与⑤可得    当x1>x3时，含峰区间的长度为x1.

    由条件x1－x3≥0.02, 得x1－(1－2x1) ≥0.02, 从而x1≥0.34.

    因此，为了将含峰区间的长度缩短到0.34，只要取

    x1=0.34, x2=0.66, x3=0.32.

     

     


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