芜湖市2009届高中毕业班模拟考试
数学试卷（理科）
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上。
2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试题卷上。
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
4．参考公式：
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．集合
，则
A．
B．
C．
D．
2．复数
，则复数
在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．命题“
”的否定为
A．
B．
C．
D．
4．如图所示是一个简单几何体的三视图，其正视图与侧视图是边长为2的正三角形，俯视
图为正方形，则其体积是
A．
B．
C．
D．
正视图
侧视图
俯视图
5．将直线
沿
平移后，所得直线与圆
相切实数
的值为
A．-3
B．
6．下列四个命题正确的是
①线性相关系数
越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越小；
②残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；
③用相关指数
来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好；
④随机误差
是衡量预报精确度的一个量，它满足
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
7．已知两个不同的平面
、
和两条不重合的直线
、
则下列四个命题不正确的是
A．若
则
B．若
C．若
则
D．若
，则
8．如果执行右图的程序框图，那么输出的
=
A．2450 B．2500
C．2550 D．2652
9．在周长为16的
中，
，则
的取值
范围是
A．
B．（0，16）
B．
D．
10．以下四个命题中，正确的个数是
①
中，
的充要条件是
；
②函数
在区间（1，2）上存在零点的充要条件是
；
③等比数列
中，
，则
；
④把函数
的图象向右平移2个单位后，得到的图象对应的解析式为
A．1
B．
11．设实数
满足
，则
的取值范围是
A．
] B．
C．
D．
12．幂指函数
在求导时，可运用对数法：在函数解析式两边求对数得
，两边同时求导得
=
，于是
，运用此方法可以探求得知
的一个单调递增区间为
A．（0，2） B．（2，3） C．（
） D．（3，8）
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．
的展开式中
项的系数为210，则实数的值为______________
14．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与
正半轴重合，则由曲线
和
（
为参数）围成的平面图形的面积是________
15．在中，
，给出满足的条件，就能得到动点
的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：
条件
方程
①周长为10
②面积为10
③中，
则满足条件①、②、③的轨迹方程分别为________（用代号
、
、
填入）
16．设数列的前项和为
，且
，则数列的通项公式是_______________。
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题满分12分）
已知函数
其中
其中
，若
相邻两对称轴间的距离不小于
。
（I）求
的取值范围；
（Ⅱ）中，
分别是角
的对边，
当最大时，
=1，求的面积。
18．（本题满分12分）
如图，在四棱锥
中，底面
是正方形，侧棱
底面
是
的中点，作
交
于点
。
（I）证明：
平面
；
（Ⅱ）证明：
平面
；
（Ⅲ）求二面角
的大小。
19．（本题满分12分）
（I）求选出的4人均为选《极坐标系与参数方程》的概率；
在“自选专题”考试中，某考场的每位同学都从《不等式选讲》和《极坐标系与参数方程》两专题中只选了一道数学题，第一小组选《不等式选讲》的有1人，选《极坐标系与参数方程》的有5人，第二小组选《不等式选讲》的有2人，选《极坐标系与参数方程》的有4人，现从第一、第二两小组各任选2人分析得分情况。
（Ⅱ）设
为选出的4个人中选《不等式选讲》的人数，求的分布列和数学期望。
20．（本题满分12分）
已知函数
（I）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）若对
均有
成立，求实数
的取值范围。
21．（本题满分12分）
已知二次函数
同时满足：①方程
有且只有一个根；②在定义域内在
，使得不等式
成立；设数列的前项和
。
（I）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设
，求数列
的前项和
；
（Ⅲ）证明：当
时，
。
22．（本题满分14分）
已知椭圆
的左焦点为，左右顶点分别为，
，上顶点为
，过，
三点作⊙M，其中圆心
的坐标为（
）。
（I）若⊙M的圆心在直线
上，求椭圆
的方程。
（Ⅱ）若
、
是椭圆上满足
的两点，求证：
是定值。
芜湖市2009届高中毕业班模拟考试
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．B 2．A 3．B 4．B 5．C 6．B 7．D 8．C 9．D 10．A 11．C 12．A
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．
14．18
15．
、
、
16．
三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．解：(Ⅰ)
=
函数
的周期
，
由题意可知
即
，
解得
，即
的取值范围是
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知
而
由余弦定理知
又
，
18．（I）证明：连结
交
于
，连结
底面
是正方形，
点
是
的中点，
在
中，是中位线，
，
而
平面
且
平面，所以，
平面
（Ⅱ）证明：
底面且
底面
，
，可知是等腰直角三角形，而
是斜边
的中线。
①
同样由
底面
得
底面是正方形，有
平面
。
而
平面
②
由①和②推得
平面
而平面
又
且
，所以
平面
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，
，故
是二面角
的平面角
由（2）知，
设正方形的边长为
，则
在
中，
在
中，
所以，二面角的大小为
方法二；如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设
（I）证明：连结AC，AC交BD于G，连结EG。
依题意得A（,0,0）,P(0,0, ),
底面是正方形，
是此正方形的中心，故点
的坐标为
）
且
，这表明
而
平面且平面
平面
（Ⅱ）证明：依题意得
，
又
，故
由已知，且
，所以平面
（Ⅲ）解：设点
的坐标为
，则
则
从而
所以
由条件知，
，即
，解得
点的坐标为
，且
即
，故二面角的平面角。
，且
所以，二面角的大小为（或用法向量求）
19．解：（I）设“从第一小组选出的2人均考《极坐标系与参数方程》”为事件A，“从第二小组选出的2人均考《极坐标系与参数方程》”为事件B，由于事件A、B相互独立，
且
所以选出的4人均考《极坐标系与参数方程》的概率为
（Ⅱ）设
可能的取值为0，1，2，3，得
的分布列为
0
1
2
3
的数学期望
20．解：由题意
（I）当
时。
由
得
，解得
，函数的单调增区间是
；
由
得
，解得
，函数的单调减区间是
当
时，函数有极小值为
（2） 当时，由于
，均有
，
即
恒成立，
，
由（I）知函数极小值即为最小值，
，解得
21．解（I）方程
有且只有一个根，
或
又由题意知
舍去
当
时，
当
时，
也适合此等式
（Ⅱ）
①
②
由①-②得
（Ⅲ）法一：当
2时，
时，数列
单调递增，
又由（II）知
法二：当
时，
22．（I）⊙M过点
三点，圆心
既在
的垂直平分线上，也在
的垂直平分线上，的垂直平分线方程为
的中点为
的垂直平分线方程为
由④⑤得
即
在直线
上。
由
得
椭圆的方程为
（Ⅱ）设
则
是定值；
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