2009年福建省龙岩市高中毕业班质量检查数学（文科）试题
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共4页. 全卷满分150分，考试时间120分钟.
参考公式：
样本数据x1，x2，…，xn的标准差：
s=
，其中
为样本平均数；
柱体体积公式：V=Sh ，其中S为底面面积，h为高；
锥体体积公式：V=
Sh，其中S为底面面积，h为高；
球的表面积、体积公式：
，
，其中R为球的半径.
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共１2小题，每小题５分，共6０分．在每小题给出的四个选项中，只有一
1．已知全集
，集合
，
，则
等于
A．
B．
C．
D．
2．化简
的结果是
A．
B．
C．
D．
3．设
是等比数列，若
，则
等于
A．6 B．
4．双曲线
的离心率为
A．
B．
C．
D．
5．已知向量a?b=
，| a | =4，a和b的夹角为
，则| b |为
A．1 B．2 C．4
D．
6．已知直线
与圆
相切，则实数
的值是
A．0 B．10 C．0或
D．0或10
7．已知三条直线的方程分别是
，
和
，则这三条直线所围成的三角形
面积为
A．
B．3 C．
D．6
8． 将函数
的图象向左平移
个单位后，得到函数
的图象，则
的图象
A．关于原点对称
B．关于
轴对称
C．关于点
对称
D．关于直线
对称
9．已知某算法的流程图如右图所示，则输出的结果是
A．3 B．4
C．5 D．6
10．如图，在正方体
中，
、
、
分别是
棱
、
、
的中点，则下列结论中：
①
；
②
；
③
；
④
.
正确结论的序号是
A．①和② B．③和④
C． ①和③ D．②和④
11．下列说法正确的是
A. 若
，则
B. 函数
的零点落在区间
内
C. 函数
的最小值为2
D. “
”是“直线
与直线
互相平行”的充分条件
12 设函数
其中
，
，则
的最大值为
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
第Ⅱ卷（非选择题 共9０分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题４分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置.
13．已知
是奇函数，则其图象在点
处的切线方程为
．
14．在长40厘米，宽30厘米的游戏屏幕上飘飞着5个直径均为
4厘米的圆形气球，每个气球显示完整且不重叠．游戏玩家
对准屏幕随机射击一次，则击中气球的概率为 ．
15．一个空间几何体的三视图如右图所示，其正视图、侧视图、
俯视图均为等腰直角三角形，且直角边长都为1，则它的
外接球的表面积是 ．
16．正整数
的三次幂可拆分成几个连续奇数的和，如右图所示，
若
的“拆分数”中有一个数是2009，则的值为 ．
三、解答题：本大题共６小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
在
中，
，
．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）若
，求的面积．
18．（本小题满分12分）
如图，
，其中四边形
是正
方形，
是等边三角形，且
，点
、
分别是
、
的中点．
（Ⅰ）求三棱锥
的体积；
（Ⅱ）求证：
；
（Ⅲ）若点
在线段
上运动，求证：
．
19．（本小题满分12分）
等差数列
中，
，
．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若在数列的每相邻两项
和
之间各插入一个数
，使之成为新的数列
，
为数列的前
项的和，求
的值．
20．（本小题满分12分）
某公司欲招聘员工，从1000名报名者中筛选200名参加笔试，按笔试成绩择优取50名面试，再从面试对象中聘用20名员工．
（Ⅰ）求每个报名者能被聘用的概率；
（Ⅱ）随机调查了24名笔试者的成绩如下表所示：
分数段
[60，65)
[65，70)
[70，75)
[75，80)
[80，85)
[85，90)
人数
1
2
6
9
5
1
请你预测面试的切线分数大约是多少？
（Ⅲ）公司从聘用的四男
、
、
、
和二女
、
中选派两人参加某项培训，则选派结果为一男一女的概率是多少？
21．（本小题满分12分）
已知椭圆
：
的两个焦点的坐标分别为
、
，点P在椭圆上，
且
的周长为6．
（Ⅰ）求椭圆的方程和
的外接圆
的方程；
（Ⅱ）
为椭圆的左顶点，过点
的直线
与椭圆交于
、
两点，且、均不在x轴上，设直线
、
的斜率分别为
、
，求
的值．
22．（本小题满分14分）
设函数
．
（Ⅰ）当
时，求
的最大值；
（Ⅱ）令
，以其图象上任意一点
为切
点的切线的斜率
恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）当
，
时，方程
有唯一实数解，求正数的值．
2009年龙岩市高中毕业班质量检查
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分.
1. A 2. D 3. C 4. C 5. B 6. D 7. B 8. A 9. C 10. D 11. B 12. C
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分.
13. 
14.
15.
16.
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 本题主要考查三角函数的基本公式，考查运算能力. 满分12分.
解：（Ⅰ）在
中，因为
，
所以
.
……………………………（3分）
所以
. …………………………（6分）
（Ⅱ）根据正弦定理得：
，
所以
. ……………………………（9分）
所以
. ………………………………………………………（12分）
18．本题主要考查直线与平面的位置关系，考查空间想像能力，推理论证能力和运算求解能
力. 满分12分.
解：（Ⅰ）因为平面ABCD⊥平面ABE，且ABCD是正方形，所以BC⊥平面ABE，
因为G是等边三角形ABE的边AE的中点，所以BG⊥AE，……………（2分）
所以
．…………………………………………（4分）
（Ⅱ）取DE中点M，连结MG、FM，
因为MG 
AD，BF
AD，所以MG BF，
四边形FBGM是平行四边形，所以BG//FM.（6分）
又因为FM
平面EFD，BG
平面EFD，
所以BG//平面EFD. ………………（8分）
（Ⅲ）因为DA⊥平面ABE，BG平面ABE，所以DA⊥BG. …………………（9分）
又BG⊥AE，AD
AE＝A，
所以BG⊥平面DAE，又AP平面DAE，………………………………（11分）
所以BG⊥AP. ……………………………………………………………（12分）
19. 本题主要考查等差数列、等比数列的基本知识，考查运算求解能力及推理能力. 满分12分.
解：（Ⅰ）设该等差数列的公差为
，依题意得：
………（2分）
解得：
………………………………………………………（4分）
所以数列
的通项公式为
.
………………………………（6分）
（Ⅱ）依题意得：
………………（9分）
. ………（12分）
20. 本题主要考查概率、统计的基本知识，考查应用意识. 满分12分.
解：（Ⅰ）设每个报名者能被聘用的概率为P，依题意有：
.
答：每个报名者能被聘用的概率为0.02. ………………………………………（4分）
（Ⅱ）设24名笔试者中有x名可以进入面试，依样本估计总体可得：
，解得：
，从表中可知面试的切线分数大约为80分.
答：可以预测面试的切线分数大约为80分. ……………………………………（8分）
（Ⅲ）从聘用的四男、二女中选派两人的基本事件有：（a,b）,( a,c) , (a, d) ,( a, e) ,
(a, f) ,( b, c) ,（b,d）,( b, e) ,( b, f) ,(c, d) ,（c, e）,( c, f) ,( d, e) ,( d, f) ,（e, f）,共15种.
选派一男一女参加某项培训的种数有:
(a,e) ,( a, f) , (b,e) ,(b, f),（c,e）,(c, f) ,(d,e) ,(d, f)，共8种
所以选派结果为一男一女的概率为
.
答：选派结果为一男一女的概率为.
…………………………………（12分）
21．本题主要考查圆、直线与椭圆的位置关系等基本知识，考查运算求解能力和分析问题、
解决问题的能力. 满分12分
解：（Ⅰ）由已知得，
,所以
又
，所以
，椭圆C的方程为
………（3分）
因为
，所以
，可求得
或
，…（5分）
所以
的外接圆D的方程是
或
．
………………………………………………………………（7分）(少一解扣1分)
（Ⅱ）当直线
的斜率不存在时，由（Ⅰ）得
，
，
可得
，所以
．…………………………………（8分）
当直线的斜率存在时，设其斜率为
，显然
，
则直线的方程为
，设点
，
将代入方程
，并化简得：
……………………………………（9分）
可得：
，
， ……………………（10分）
所以
综上，．
………………………（12分）
22．本题主要考查函数的单调性、极值、最值、不等式、方程的解等基本知识，考查运用导
数研究函数性质的方法，考查分类与整合及化归与转化等数学思想. 满分14分.
解：（Ⅰ）依题意，知
的定义域为
.
…………………………………（1分）
当
时，
，
.
………………………………（2分）
令
，解得
.
当
时，
，此时
单调递增；
当
时，
，此时单调递减. ……………………………（3分）
所以的极大值为
，此即为最大值 . ……………………（4分）
（Ⅱ）
，
所以
，在
上恒成立，………………（6分）
所以
，…………………………………（7分）
当
时，
取得最大值．所以
． ………………（9分）
（Ⅲ）因为方程
有唯一实数解，所以
有唯一实数解．设
，则
.
令
，得
．
因为
，
所以
（舍去），
， ………（10分）
当
时，
，
在
单调递减，
当
时，
，在
单调递增．
当
时，
，取最小值
. ……………………（11分）
因为
有唯一解，所以
．
则
，即
所以
，
因为
，所以
． …………………………（12分）
设函数
，
因为当
时，
是增函数，所以
至多有一解．
………（13分）
因为
，所以方程
的解为
，即
，
解得
……………………………………………（14分）
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