代数推理题怎么解

陕西永寿县中学   特级教师安振平   

数学是“教会年轻人思考”的科学, 针对代数推理型问题, 我们不但要寻求它的解法是什么, 还要思考有没有其它的解法, 更要反思为什么要这样解, 不这样解行吗?我们通过典型的问题, 解析代数推理题的解题思路, 方法和技巧. 在解题思维的过程中, 既重视通性通法的演练, 又注意特殊技巧的作用, 同时将函数与方程, 数形结合, 分类与讨论, 等价与化归等数学思想方法贯穿于整个的解题训练过程当中.

    例1设函数，已知，时恒有，求a的取值范围.

     讲解: 由

         ,

从而只要求直线L不在半圆C下方时, 直线L 的y截距的最小值.

当直线与半圆相切时，易求得舍去）.

故.

本例的求解在于 关键在于构造新的函数, 进而通过解几模型进行推理解题, 当中, 渗透着数形结合的数学思想方法, 显示了解题思维转换的灵活性和流畅性.

还须指出的是: 数形结合未必一定要画出图形, 但图形早已在你的心中了, 这也许是解题能力的提升, 还请三思而后行.

    例2 已知不等式对于大于1的正整数n恒成立，试确定a的取值范围.

    讲解: 构造函数，易证(请思考:用什么方法证明呢?)为增函数.

    ∵n是大于1的 正整数，

对一切大于1的正整数恒成立，必须,

即

这里的构造函数和例1属于同类型, 学习解题就应当在解题活动的过程中不断的逐类旁通, 举一反三, 总结一些解题的小结论. 针对恒成立的问题, 函数最值解法似乎是一种非常有效的同法, 请提炼你的小结论.

    例3  已知函数在区间[－b，1－b]上的最大值为25，求b的值.

    讲解: 由已知二次函数配方, 得

     时，的最大值为4b²+3=25. 

      上递增，

      上递增，

         .

       关于二次函数问题是历年高考的热门话题, 值得读者在复课时重点强化训练. 针对抛物线顶点横坐标在不在区间[－b，1－b], 自然引出解题形态的三种情况, 这显示了分类讨论的数学思想在解题当中的充分运用. 该分就分, 该合就合, 这种辨证的统一完全依具体的数学问题而定, 需要在解题时灵活把握.

   例4已知

    的单调区间；

    （2）若

    讲解: （1） 对 已 知 函 数 进 行 降 次 分 项 变 形  , 得 ,

    （2）首先证明任意

事实上,

     而

      .

     函 数 与 不 等 式 证 明 的 综 合 题 在 高 考 中 常 考 常 新 , 是 既 考 知 识 又 考 能 力 的 好 题  型 , 在 高 考 备 考 中 有 较 高 的 训 练 价 值.. 针对本例的求解, 你能够想到证明任意采用逆向分析法, 给出你的想法!

     例5  已知函数f(x)=（ａ＞０，ａ≠１）．?

(1) 证明函数f(x)的图象关于点P()对称．?

(2) 令a_n＝，对一切自然数n，先猜想使a_n＞ｎ^２成立的最小自然数a,并证明之．?

(3) 求证：∈Ｎ).

讲解: (1)关于函数的图象关于定点P对称, 可采用解几中的坐标证法.

设M(x,y)是f(x)图象上任一点，则M关于P()的对称点为M’（１－ｘ，１－ｙ），?

∴Ｍ′(1-x,1-y)亦在f(x)的图象上，

故函数f(x)的图象关于点P()对称.?

(2)将f(n)、f(1-n)的表达式代入a_n的表达式，化简可得a_n＝ａ^ｎ猜a=3,

即3^ｎ＞ｎ^２．?

下面用数学归纳法证明．?

设n=k(k≥２)时，3^ｋ＞ｋ^２．?

那么n=k+1，3^ｋ＋１＞３?３^ｋ＞３ｋ^２?

又3k^２－（ｋ＋１）^２＝２（ｋ－）^２－≥０（ｋ≥２，ｋ∈Ｎ）?

∴３^ｎ＞ｎ^２.?

(3)∵３^ｋ＞ｋ^２?

∴ｋｌｇ３＞２ｌｇｋ?

令k=1,2,…，n，得n个同向不等式，并相加得：

函数与数列综合型问题在高考中频频出现,是历年高考试题中的一道亮丽的风景线.针对本例,你能够猜想出最小自然数a=3吗? 试试你的数学猜想能力.

    例6 已知二次函数，设方程的两个实根为x₁和x₂.

   （1）如果，若函数的对称轴为x=x₀，求证：x₀＞－1；

   （2）如果，求b的取值范围.

讲解:（1）设，由得, 即

            ，

故；

（2）由同号.

①若.

又，负根舍去）代入上式得

，解得；

②若 即4a－2b+3＜0.

同理可求得.

    故当

    对你而言, 本例解题思维的障碍点在哪里, 找找看, 如何排除? 下一次遇到同类问题, 你会很顺利的克服吗? 我们力求做到学一题会一类, 不断提高逻辑推理能力.

   例7 对于函数，若存在成立，则称的不动点。如果函数有且只有两个不动点0，2，且

   （1）求函数的解析式；

   （2）已知各项不为零的数列，求数列通项；

   （3）如果数列满足，求证：当时，恒有成立.

  讲解:  依题意有,化简为 由违达定理, 得

解得 代入表达式，由

得 不止有两个不动点，

（2）由题设得     （*）

且          （**）

由（*）与（**）两式相减得：

解得（舍去）或，由，若这与矛盾，，即{是以-1为首项，-1为公差的等差数列，；

  （3）采用反证法，假设则由（1）知

,有

，而当这与假设矛盾，故假设不成立，.

  关于本例的第(3)题,我们还可给出直接证法,事实上:

  由得<0或

  结论成立；

  若，此时从而即数列{}在时单调递减，由，可知上成立.

     比较上述两种证法,你能找出其中的异同吗? 数学解题后需要进行必要的反思, 学会反思才能长进.

    例8 设a，b为常数，：把平面上任意一点

 （a，b）映射为函数

   （1）证明：不存在两个不同点对应于同一个函数；

   （2）证明：当，这里t为常数；

   （3）对于属于M的一个固定值，得，在映射F的作用下，M₁作为象，求其原象，并说明它是什么图象.

    讲解: （1）假设有两个不同的点（a，b），（c，d）对应同一函数，即与相同，

即 对一切实数x均成立.

特别令x=0，得a=c；令，得b=d这与（a，b），（c，d）是两个不同点矛盾，假设不成立.

故不存在两个不同点对应同函数.

（2）当时，可得常数a₀，b₀，使

=

由于为常数，设是常数.

从而.

（3）设，由此得

在映射F之下，的原象是（m，n），则M₁的原象是

.

消去t得，即在映射F之下，M₁的原象是以原点为圆心，为半径的圆.

    本题将集合, 映射, 函数综合为一体, 其典型性和新颖性兼顾, 是一道用“活题考死知识”的好题目, 具有很强的训练价值.

    例9  已知函数f(t)满足对任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1,且f(－2)=－2.

   （1）求f(1)的值;

   （2）证明：对一切大于1的正整数t，恒有f(t)>t；

   （3）试求满足f(t)=t的整数t的个数，并说明理由.

讲解 （1）为求f(1)的值，需令

令.

令.

   （2）令(※)

.

由,

,

于是对于一切大于1的正整数t，恒有f(t)>t.

   （3）由※及（1）可知.

下面证明当整数.

(※)得

即……，

将诸不等式相加得

   .

综上，满足条件的整数只有t=1，.

本题的求解显示了对函数方程f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1中的x、y取特殊值的技巧，这种赋值法在2002年全国高考第（21）题中得到了很好的考查.

例10  已知函数f（x）在（－1，1）上有定义，且满足x、y∈（－1，1） 有

．

（1）证明：f（x）在（－1，1）上为奇函数；

（2）对数列求；

（3）求证

    讲解  （1）令则

            令则 为奇函数. 

   （2）， 

    是以－1为首项，2为公比的等比数列．

  （3）

 而  

    本例将函数、方程、数列、不等式等代数知识集于一题，是考查分析问题和解决问题能力的范例. 在求解当中，化归出等比（等差）数列是数列问题常用的解题方法.