(2)  ∵ , ∴=4.

∴{}是公差为4的等差数列.

∵a₁=1,  ∴=+4(n-1)=4n-3.

∵a_n>0 , ∴a_n=.                                        

(3)   b_n=S_n+1-S_n=a_n+1²=, 由b_n<,得 m>对于n∈N成立.

∵≤5 ,

∴m>5,存在最小正数m=6,使得对任意n∈N有b_n<成立.

为了求a_n ,我们先求,这是因为{}是等差数列, 试问: 你能够想到吗? 该题是构造等差数列的一个典范.

例4  已知数列在直线x-y+1=0上.

（1）       求数列{a_n}的通项公式；

（2）若函数

求函数f(n)的最小值；

   (3)设表示数列{b_n}的前n项和.试问:是否存在关于n 的整式g(n), 使得对于一切不小于2的自然数n恒成立?若存在,写出g(n)的解析式,并加以证明;若不存在,说明理由.  

    讲解  从 规 律 中 发 现 ,从 发 现 中 探 索.

   （1）

    （2） ,

         ,

     .

    （3）,

      .

     故存在关于n的整式使等式对于一切不小2的自然数n恒成立.

     事实上, 数列{a_n}是等差数列, 你知道吗？

    例5  深夜，一辆出租车被牵涉进一起交通事故，该市有两家出租车公司――红色出租车公司和蓝色出租车公司，其中蓝色出租车公司和红色出租车公司分别占整个城市出租车的85%和15%。据现场目击证人说，事故现场的出租车是红色，并对证人的辨别能力作了测试，测得他辨认的正确率为80%，于是警察就认定红色出租车具有较大的肇事嫌疑. 请问警察的认定对红色出租车公平吗？试说明理由.

    讲解  设该城市有出租车1000辆，那么依题意可得如下信息：

证人所说的颜色（正确率80%）

真

实

颜

色

蓝色

红色

合计

蓝色（85%）

680

170

850

红色（15%）

30

120

150

合计

710

290

1000

从表中可以看出，当证人说出租车是红色时，且它确实是红色的概率为，而它是蓝色的概率为. 在这种情况下，以证人的证词作为推断的依据对红色出租车显然是不公平的.

本题的情景清新, 涉及到新教材中概率的知识, 上述解法中的列表技术显示了一定的独特性, 在数学的应试复课中似乎是很少见的.

    例6  向明中学的甲、乙两同学利用暑假到某县进行社会实践，对该县的养鸡场连续六年来的规模进行调查研究，得到如下两个不同的信息图：

   （A）图表明：从第1年平均每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡;

   （B）图表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年的10个.

   请你根据提供的信息解答下列问题：

   （1）第二年的养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数各是多少？

   （2）哪一年的规模最大？为什么？

   讲解 （1）设第n年的养鸡场的个数为，平均每个养鸡场出产鸡万只，

     由图（B）可知, =30，且点在一直线上，

从而 

     由图（A）可知, 且点在一直线上，

于是  

     =（万只），（万只）

     第二年的养鸡场的个数是26个，全县出产鸡的总只数是31.2万只；

     （2）由（万只），

     第二年的养鸡规模最大，共养鸡31.2万只.

     有时候我们需要画出图形, 有时候我们却需要从图形中采集必要的信息, 这正反映了一个事物的两个方面. 看来, 读图与识图的能力是需要不断提升的.

例7 已知动圆过定点P（1，0），且与定直线相切，点C在l上.

   （1）求动圆圆心的轨迹M的方程；

   （2）设过点P，且斜率为－的直线与曲线M相交于A，B两点.

   （i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；

   （ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.

讲解  本例主要考查直线、圆与抛物线的基本概念及位置关系，是解析几何中的存在性问题.

（1）由曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，知曲线M的方程为.

（2）（i）由题意得，直线AB的方程为 消y得

于是,  A点和B点的坐标分别为A，B（3，），

假设存在点C（－1，y），使△ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，

即有

由①－②得

因为不符合①，所以由①，②组成的方程组无解.

故知直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形.

（ii）设C（－1，y）使△ABC成钝角三角形，

由

即当点C的坐标是（－1，）时，三点A，B，C共线，故.

  ，

  ，   

  .

  (i) 当，即，

 即为钝角.

(ii) 当，即，

 即为钝角.

(iii)当，即，

 即.   该不等式无解，所以∠ACB不可能为钝角.

故当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是.

需要提及的是, 当△ABC为钝角三角形时, 钝角的位置可能有三个,需要我们进行一一探讨.

例8 已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足关系式  .

   （1）求f（0），f（1）的值；

   （2）判断的奇偶性，并证明你的结论；

   （3）若，求数列{u_n}的前n项的和S_n.

讲解 本题主要考查函数和数列的基本知识，考查从一般到特殊的取特值求解技巧.

   （1）在中,令得

           .

     在中,令得

        ，有 .

   （2）是奇函数,这需要我们进一步探索. 事实上 

        故为奇函数.

（2）       从规律中进行探究,进而提出猜想.

 由   

       ,

         ………………………………

猜测  .

于是我们很易想到用数学归纳法证明.

     1° 当n=1时，，公式成立；

     2°假设当n=k时，成立，那么当n=k+1时，

，公式仍然成立.

     综上可知，对任意成立.

  从而   .

     ，.

     故

例9  若、，

(1)求证：；

    (2)令，写出、、、的值，观察并归纳出这个数列的通项公式；

    (3)证明：存在不等于零的常数p，使是等比数列，并求出公比q的值.

讲解  (1)采用反证法. 若，即, 解得

从而与题设,相矛盾，

   故成立.

 (2) 、、、、,

     .

（3）因为 又,

所以,

因为上式是关于变量的恒等式，故可解得、.

    我们证明相等的问题太多了,似乎很少见到证明不相等的问题,是这样吗?

例10 如图，已知圆A、圆B的方程分别是动圆P与圆A、圆B均外切，直线l的方程为：．

（1）求圆P的轨迹方程，并证明：当时，点P到点B的距离与到定直线l距离的比为定值；

（2） 延长PB与点P的轨迹交于另一点Q，求的最小值；

（3）如果存在某一位置，使得PQ的中点R在l上的射影C，满足求a的取值范围．

   讲解（1）设动圆P的半径为r，则｜PA｜＝ｒ＋，｜PB| = r + ，

∴ |PA| －｜PB| = 2．

∴ 点P的轨迹是以A、B为焦点，焦距为4，实轴长为2的双曲线的右准线的右支，其方程为  （x ≥1）．若 , 则l的方程为双曲线的右准线, ∴点P到点B的距离与到l的距离之比为双曲线的离心率e = 2.

(2)若直线PQ的斜率存在，设斜率为k，则直线PQ的方程为y = k ( x－2 )代入双曲线方程, 得

由　 ，　解得＞３．　

∴  ｜PQ｜＝．　

当直线的斜率存在时，，得，｜PQ|＝６．

∴　｜PQ|的最小值为６．　

（3）当PQ⊥QC时，P、C、Q构成Rt△.

∴  R到直线l的距离｜RC|＝  ① 

又　∵ 　点P、Q都在双曲线上，

∴　　．

∴　　，即　　．

∴　　　②　

将②代入①得　，｜PQ｜＝２－４a≥6．

故有ａ≤－１．

“如果存在”并不意味着一定存在, 如何修改本题使其成为不存在的范例呢? 问题的提出既能延伸我们的思绪, 更能完善我们的知识技能, 无形中使解题能力得到逐渐的提升.