解析几何题怎么解

安振平     

       高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题), 共计30分左右, 考查的知识点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线, 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的基本知识,  这点值得考生在复课时强化.

    例1  已知点T是半圆O的直径AB上一点，AB=2、OT=t  (0<t<1)，以AB为直腰作直角梯形，使垂直且等于AT，使垂直且等于BT，交半圆于P、Q两点，建立如图所示的直角坐标系.

(1)写出直线的方程；

   （2）计算出点P、Q的坐标；

   （3）证明：由点P发出的光线，经AB反射后，反射光线通过点Q.                  

   讲解:  通过读图,  看出点的坐标.

(1 ) 显然,  于是 直线

的方程为；

   （2）由方程组

解出  、；              

   （3）,

        .

   由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知，由点P发出的光线经点T反射，反射光线通过点Q.

       需要注意的是, Q点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗?

例2  已知直线l与椭圆有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴分别交于R、S，求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程．

   讲解：从直线所处的位置, 设出直线的方程,

   由已知，直线l不过椭圆的四个顶点，所以设直线l的方程为

代入椭圆方程 得

化简后，得关于的一元二次方程

于是其判别式

由已知，得△=0．即  ①

在直线方程中，分别令y=0，x=0，求得

 令顶点P的坐标为（x，y），  由已知，得

 代入①式并整理，得 ,  即为所求顶点P的轨迹方程．

       方程形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗?

   例3已知双曲线的离心率，过的直线到原点的距离是

 （1）求双曲线的方程；

 （2）已知直线交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.

  讲解：∵（1）原点到直线AB：的距离.

     故所求双曲线方程为

（2）把中消去y，整理得 .

     设的中点是，则

即

故所求k=±.

为了求出的值, 需要通过消元, 想法设法建构的方程.

   例4 已知椭圆C的中心在原点，焦点F₁、F₂在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且∠F₁PF₂的最大值为90°，直线l过左焦点F₁与椭圆交于A、B两点，△ABF₂的面积最大值为12．

  （1）求椭圆C的离心率；

  （2）求椭圆C的方程．

   讲解：（1）设, 对 由余弦定理, 得

  ，

解出  

 （2）考虑直线的斜率的存在性，可分两种情况：

   i) 当k存在时，设l的方程为………………①

  椭圆方程为

 由   得   .

于是椭圆方程可转化为  ………………②

将①代入②，消去得     ,

整理为的一元二次方程，得       .

则x₁、x₂是上述方程的两根．且

，

ii) 当k不存在时，把直线代入椭圆方程得

由①②知S的最大值为  由题意得=12  所以   

  故当△ABF₂面积最大时椭圆的方程为：

下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣：

设过左焦点的直线方程为：…………①

（这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思.）

椭圆的方程为：

由得：于是椭圆方程可化为：……②

把①代入②并整理得：

于是是上述方程的两根.

,

AB边上的高,

从而

当且仅当m=0取等号，即

    由题意知,  于是  .

    故当△ABF₂面积最大时椭圆的方程为：

      例5  已知直线与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线上.

（１）求此椭圆的离心率；

（2 ）若椭圆的右焦点关于直线的对称点的在圆上，求此椭圆的方程.

      讲解:（1）设A、B两点的坐标分别为 得

,   

根据韦达定理，得           

 ∴线段AB的中点坐标为（）. 

 由已知得

  故椭圆的离心率为 .

 （2）由（1）知从而椭圆的右焦点坐标为 设关于直线的对称点为

解得     

由已知得

故所求的椭圆方程为 .

      例6   已知⊙M：轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点，（1）如果，求直线MQ的方程；

      （2）求动弦AB的中点P的轨迹方程.

      讲解:（1）由，可得由射影定理，得   在Rt△MOQ中，

  ，

    故，

    所以直线AB方程是

    （2）连接MB，MQ，设由

点M，P，Q在一直线上，得

由射影定理得

即 把（*）及（**）消去a，并注意到，可得

      适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在，还请读者反思其中的奥妙.

    例7   如图，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，AB=2，AC=。DO⊥AB于O点，OA=OB，DO=2，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持| PA |+| PB |的值不变.

（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；

（2）过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间，设，

   试确定实数的取值范围．

讲解: （1）建立平面直角坐标系, 如图所示 .                                      

    ∵| PA |+| PB |=| CA |+| CB |                                        y

      =

∴动点P的轨迹是椭圆 .                                                

∵                                                                                 

∴曲线E的方程是  .

   （2）设直线L的方程为 , 代入曲线E的方程，得

设M₁（,  则

i)  L与y轴重合时，                          

ii)  L与y轴不重合时，

  由①得  

  又∵,

∵  或 

∴0＜＜1 ,                                              

∴ .                  

∵

而  ∴

∴                            

∴ ,  ,

∴的取值范围是 .   

    值得读者注意的是，直线L与y轴重合的情况易于遗漏，应当引起警惕.

    例8  直线过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A两点.

   （1）求证：;

   （2）求证：对于抛物线的任意给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线.

  讲解: （1）易求得抛物线的焦点.

  若l⊥x轴，则l的方程为.

若l不垂直于x轴，可设,代入抛物线方程整理得             .

综上可知  .

（2）设，则CD的垂直平分线的方程为

假设过F，则整理得

，.

这时的方程为y=0，从而与抛物线只相交于原点. 而l与抛物线有两个不同的交点，因此与l不重合，l不是CD的垂直平分线.

       此题是课本题的深化，你能够找到它的原形吗？知识在记忆中积累，能力在联想中提升. 课本是高考试题的生长点，复课切忌忘掉课本！

       例9 某工程要将直线公路l一侧的土石，通过公路上的两个道口A和B，沿着道路AP、BP运往公路另一侧的P处，PA=100m，PB=150m，∠APB=60°，试说明怎样运土石最省工？

       讲解: 以直线l为x轴，线段AB的中点为原点对立直角坐标系，则在l一侧必存在经A到P和经B到P路程相等的点，设这样的点为M，则

      |MA|+|AP|=|MB|+|BP|,

即   |MA|－|MB|=|BP|－|AP|=50,

,

∴M在双曲线的右支上.

故曲线右侧的土石层经道口B沿BP运往P处，曲线左侧的土石层经道口A沿AP运往P处，按这种方法运土石最省工.

相关解析几何的实际应用性试题在高考中似乎还未涉及，其实在课本中还可找到典型的范例，你知道吗？

解析几何解答题在历年的高考中常考常新, 体现在重视能力立意, 强调思维空间, 是用活题考死知识的典范. 考题求解时考查了等价转化, 数形结合, 分类讨论, 函数与方程等数学思想, 以及定义法, 配方法, 待定系数法, 参数法, 判别式法等数学通法.