一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

选项

B

C

C

A

D

D

B

A

A

C

二、填空题

11.                 12. 2或16    13.    14.

 15. 45° 16.  

17. （I）解：因为α为第二象限的角，，

所以，，………………………………………2分

从统计的角度看，甲获得85分以上（含85分）的概率，

乙获得85分以上（含85分）的概率。

∵，∴派乙参赛比较合适。

（Ⅱ）       记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A，

                  。   

                  随机变量的可能取值为0、1、2、3，

                  ∴，。

                  所以变量的分布列为：                                             

0

1

2

3

P

。

（或）          ……………………………………              12分

19.

20. （Ⅰ）

        由题意

               ①

            ②

       由①、②可得，

     故实数a的取值范围是…………………………………4分            

（Ⅱ）存在  ………………………………………5分

    由（1）可知，

+

0

－

0

+

单调增

极大值

单调减

极小值

单调增

       ，

       .……………………………………………………7分

        ……………………………………8分

的极小值为1.………………………………8分      

   （Ⅲ）

∴其中等号成立的条件为 .  ……………………………………………12分

另证：当n=1时，左=0，右=0，原不等式成立. …………………………………11分      

假设n=k ()时成立，即

即当时原不等式成立.

综上当成立. …………………………………12分

21. （I）解：

   （III）解：

   （III）解：

22. 解法一：

（Ⅰ）设椭圆的方程为。              …………………         1分

∵，，∴，。       ……       4分

∴椭圆的方程为。  …………………………………         5分

（Ⅱ）取得，

直线的方程是直线的方程是

交点为           ………………………………………………………         7分

若，由对称性可知交点为

若点在同一条直线上，则直线只能为。           …………………         8分

以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上。

事实上，由

得即，

记，则。……    9分

设与交于点由得

设与交于点由得…… 10分

，                     ……………………………         12分

∴，即与重合，

这说明，当变化时，点恒在定直线上。             ………………           13分

解法二：

（Ⅰ）同解法一。

（Ⅱ）取得，

直线的方程是直线的方程是

交点为 ……………………………………………    7分

取得，

直线的方程是直线的方程是交点为

∴若交点在同一条直线上，则直线只能为。                   8分

以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上。

事实上，由

得即，

记，则。……       9分

的方程是的方程是

消去得……………………………………   ①

以下用分析法证明时，①式恒成立。

要证明①式恒成立，只需证明

即证即证………………  ②

∵∴②式恒成立。

这说明，当变化时，点恒在定直线上。