2009届湖北省黄冈市黄州区一中高考模拟卷
数学试题（理科）
命题人：杨安胜 审题人：童建辉
一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知函数
则
的值为 （ ）
A．10
B．
2．在等差数列
中，有
，则此数列的前13项之和为（ ）
A．24 B．
3. 有3个男生和3个女生站成一排照像．女生甲和女生乙必须相邻站，而女生甲和女生乙均不与女生丙相邻，则不同的站法有（ ）种．
A．
B．
C．
D．
4. 若
为锐角，且
，则
( )
A．
B．
C．
D．
5．已知函数
的图象如右图所示,则必有 ( )
A．
B．
C．
D．
6．已知实数
、
满足
，则
的最大值为 ( )
A．6 B．7 C．8 D．9
7．已知在
中三内角A，B，C所对的三边长分别为a,b,c,，则“a,b,c成等比数列”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．正四棱锥
的五个顶点在同一个球面上,若其底面边长为4,侧棱长为
,则此球的表面积为 ( )
A．
B．
C． 
D． 
9．已知双曲线E的离心率为e，左、右两焦点分别为F1、F2，抛物线C以F2为顶点，F1为焦点,点P为抛物线与双曲线右支上的一个交点，若a|PF2|＋c|PF1|＝8a2（其中a、c分别为双曲线的实半轴长和半焦距），则e的值为 ( )
A. B. 3 C. D.
10．设
为的边
上一点，
为内一点，且满足
，则
( )
A．最小值为
B．最大值为 C．最小值为
D．最大值为
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.
11．复数
在复平面上对应的点位于第一象限，则
的取值范围是
。
12. 
的展开式中的系数是 .
13.如果ξ～B（20,
），则使P（ξ=k）取最大值的k的值是____________.
14．设连续掷两次骰子得到的点数分别为m．n，则直线y=
x与圆(x－3)2+y2=1相交的概率是___________．
15．给出以下四个命题:
①若
，
，则
。
②函数
的反函数为
。
③函数
为奇函数。
④对于函数
，当
时，
恒成立。
其中所有真命题的序号为 .
三、解答题:本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分12分）锐角△ABC中，角
、
、
的对边分别是、
、
，
，向量
向量
∥
.
（Ⅰ）求边长的取值范围； （Ⅱ）当
时，求边长的值．
17. （本小题满分12分）在某次抗旱救灾中，准备用炮弹射击的方法实行人工降雨，炮弹射完或已降雨则停止射击；已知只有5发炮弹，第一次命中积云只能使云层中的水分子凝聚，第二次命中同一积云才能降雨，每次射击是相互独立的，且每次命中的概率均为
，设射击的次数为
.（Ⅰ）试问此次人工降雨成功的可能性有多大？（Ⅱ）求的分布列及
的数学期望与方差.
18．（本小题满分12分）已知在多面体ABCDE中，AB⊥ 平面ACD，DE∥AB，AC = AD = CD = DE = 2，F为CD的中点．
（Ⅰ）求证：AF⊥平面CDE；
（Ⅱ）求平面ABC和平面CDE所成的小于90°的二面角的大小；
（Ⅲ）求点A到平面BCD的距离的取值范围．
19．（本小题满分12分）
已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，直线
与椭圆在第一象限内的交点是
，点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点
，另一个焦点是
，且
。
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)直线
过点
，且与椭圆交于
两点，求
的内切圆面积的最大值。
20．（本小题满分13分）已知函数
（
，
）．
(Ⅰ)求函数
的单调递增区间；
(Ⅱ)若不等式
对一切正整数
恒成立，求实数
的取值范围．
21. （本小题满分14分）已知正项数列
满足对一切
,有
，其中
.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若
（为非零常数，
），问是否存在整数，使得对任意 ，都有
．
（Ⅲ） 求证: 当
时, 
.
1． C 【解析】∵
，∴
＝
.
说明：解答本题要深刻理解导数的定义,掌握概念形式,看似求极限,实则求导数,如何在极限与导数之间建立起联系是解决本题的关键，导数是特殊情况下的极限，这一基本常识容易被学生忽略，从中也体现出对学生基本素质的考查.
2．C 【解析】
，所以选C．
3.
【解析】３个男生先排成一排有
种方法；女生甲和女生丙插在３个男生间及前后共四个位置中的两个位置，有
种方法；女生乙只能排在女生甲的左侧或右侧，有２种方法．由分步计算原理，共有
种方法．（或
）故选．
4.
【解析】
故选项.也可求解如下：
故选项.
5． 【解析】
，由函数图象的走向可知，单调性是先增后减再增，因此导函数的值应该是随
由小到大，先正后负再为正，因此
，从函数图象可以确定函数
有两个极值点，易知方程
有相异号的两个实数根且负根的绝对值大，由根与系数的关系可判定
，故选B.
说明：本题难度较大，综合性强，如何从图中得出极值点及单调性的特点是解决本题的关键，同时又要运用二次函数的性质解题，对一元二次方程根与系数的关系也进行了考查.由单调性得开口方向,由极值点得方程的根,由方程的根再判定字母的取值,从中也体现出对学生的思维品质有较高的要求
6．D【解析】在点（0，一1）处目标函数取得最大值为9，故选D．
7． A【解析】因为
中的三边a,b,c成等比数列，所以
,根据余弦定理得：
由此得 
，又
，所以A+C=180
。但由
却不能推出a,b,c成等比数列.故选择A。
【所猜考点】余弦定理、三角形内角和、等比数列概念、基本不等式、充要条件等考点。在考纲中对以上知识点的考查都有明确的要求。
【猜题理由】此题可作为高考选择题中的中档题，试题考查多个知识点的综合性。主要考查三角形的边角之间的关系，同时又以等比数列和充要条件这两个知识点为依托。试题基础知识点多，对考生的要求较高，因此这是立意新颖，且质量较高的选择题。近几年高考题选择题的难度不太大，所考查的都是比较基础的知识点，但所考的知识点并不单一。大多情况在知识交汇处命题，例如充要条件的判断往往与其他知识点结合一起进行考查。数学教学要抓基础知识点，同时要将一些基础知识点有机地整合形成具有综合性的问题，提高学生灵活运用基础知识解决综合性问题的能力。单一的知识不利于学生综合能力的提升。
8． 【解析】设球的半径为
， 
为正方形
中心,在直角三角形
中
有
在直角三角形
中有:
两式联立解得
,故球的表面积为
,故选B
9．A 【解析】
如右图所示,设点P的坐标为(x0,y0),
由抛物线以F2为顶点,F1为焦点,可得其准线的方
程为x＝3c, 根据抛物线的定义可得|PF1|＝|PR|＝3c－x0,
又由点P为双曲线上的点,根据双曲线的第二定义可得
＝e, 即得|PF2|＝ex0－a,
由已知a|PF2|＋c|PF1|＝8a2，可得－a2＋3c2＝8a2,即e2＝3,
由e＞1可得e＝, 故应选A.
说明：本题难度中等偏难，且很有新意，一般地说，学生在处理圆锥曲线问题时，习惯于单一的思维，当需要同时考虑两条(或两条以上)圆锥曲线性质的综合应用时，往往有些不知所措，从中也体现出对学生的思维品质有较高的要求。
10．D 【解析】 
为的边
上一点，由
，
所以
=
.
【猜题理由】向量共线在三角形中体现，三角形面积公式
，以及基本不等式，代数式的最值问题都是高考的常考点，几乎每年的高考题中都考这些知识点。2009年的考纲对此有明确要求。本题将这些考点联合在一起，很有创意。既考查学生的基础知识，同时能检测学生综合运用这些基本知识解决问题的能力。可作为高考中高档选择题出现。
【构思点拨】向量的加减运算及几何意义，向量平行的判断是新高考的重要内容，高考复习时要重视训练。
11. 
12. 【解析】
．
其展开式中含的项是：
，系数等于
．
13.【解析】 
≥1,得k≤6.
所以当k≤6时，P(ξ=k+1)≥P(ξ=k),当k＞6时，P(ξ=k+1)＜P(ξ=k),其中k=6时，P(ξ=k+1)=P(ξ=k),从而k=6或7时，P(ξ=k)取得最大值.
14. 
15. ③
16. 【解析】（Ⅰ）锐角△ABC中，由
∥
得:
，
由正弦定理得：
……１分
……２分
△ABC是锐角三角形，
， ……３分
，
，
……４分
，角
……５分
由余弦定理得
……6分
，
，
， ……７分
， ……８分
，即
，
，
边长
的取值范围是
． ……９分
另解提示:对，用余弦定理换去
和
，仍可得．
（Ⅱ）当
时，
……１０分
……１１分
，边长的取值为
． ……１２分
17. 【解析】（Ⅰ）设记事件A为此次射击降雨成功，则
5次射击均未射中积云的概率为
;
…… ２分
5次射击中恰有一次射中积云的概率为
…… 4分
…… 6分
(Ⅱ)
的所有可能取值为2，3，4，5，
…… 7分
…… 8分
的分布列为： 2 3 4 5
P 
…… 10分
…… 11分
18．证明： （Ⅰ）∵AB⊥平面ACD，AB∥DE，∴DE⊥平面ACD，∵AF
平面ACD，∴DE⊥AF．又∵AC=AD=CD，F为CD中点，∴AF⊥CD．∵DEÌ平面CDE，CDÌ平面CDE，CD∩DE＝D，∴AF⊥平面CDE． …… 3分
（Ⅱ）解法一：∵AB∥DE，AB(/平面CDE，DEÌ平面CDE，∴AB∥平面CDE，设平面ABC∩平面CDE＝l，则l∥AB．即平面ABC与平面CDE所成的二面角的棱为直线l．
∵AB^平面ADC，∴l^平面ADC．∴l^AC，l^DC．∴ÐACD为平面ABC与平面CDE所成二面角的平面角．∵AC＝AD＝CD，∴ÐACD＝60°，∴平面ABC和平面CDE所成的小于90°的二面角的大小为60°．…… 7分
（Ⅱ）解法二：如图，以F为原点，过F平行于DE的直线为x轴，FC，FA所在直线为y轴，z轴建立空间直角坐标系．∵AC＝2，∴A(0，0，)，设AB＝x，B(x，0，)，C(0，1，0)，((AB＝(x，0，0)，((AC＝(0，1，－)，设平面ABC的一个法向量为n＝(a，b，c)，则由((AB×n＝0，((AC×n＝0，得a＝0，b＝c，不妨取c＝1，则n＝(0，，1)．∵AF^平面CDE，∴平面CDE的一个法向量为((FA＝(0，0，)．
cos＜n，((FA＞＝ eq \o(\s\up8(((FA＝，＜n，((FA＞＝60°．
∴平面ABC与平面CDE所成的小于90°的二面角的大小为60°．…… 7分
（Ⅲ）解法一：设AB＝x，则x＞0．∵AB^平面ACD，∴AB^CD．又∵AF^CD，ABÌ平面ABF，AFÌ平面ABF，AB∩AF＝A，∴CD^平面ABF．∵CDÌ平面BCD，∴平面ABF^平面BCD．连BF，过A作AH^BF，垂足为H，则AH^平面BCD．线段AH的长即为点A到平面BCD的距离．在Rt△AFB中，AB＝x，AF＝CD＝，∴BF＝，AH＝＝∈(0，)．…… 12分
（Ⅲ）解法二：设AB＝x，∵AC＝CD＝DA＝2，AB^平面ACD．∴VB－ADC＝×S△ADC×BA＝××22×x＝x．
∵BC＝BD＝，CD＝2，∴S△BCD＝×2×＝，设点A到平面BCD的距离为d，则VA－BCD＝×S△BCD×d＝．∵VB－ADC＝VA－BCD．∴x＝，解得d＝∈(0，)． …… 12分
19．（Ⅰ）设椭圆方程为
，点
在直线
上，且点在轴上的射影恰好是椭圆
的右焦点
， 则点为
。-------------------1分
，而
为
，则有
则有
，所以
--------------------2分
又因为
所以
---------------------3分
所以椭圆方程为：
---------------------4分
（Ⅱ）由（1）知
,过点的直线与椭圆交于
两点，则
的周长为
，则
（
为三角形内切圆半径），当的面积最大时，其内切圆面积最大。
--------------------5分
设直线
方程为：
，
，则
-----------------7分
所以
----------------9分
令
，则
，所以
，而
在
上单调递增，
所以
，当
时取等号，即当
时，的面积最大值为3，结合
，得的最大值为
----------------12分
20．【解析】（Ⅰ）
，……… 2分
由
，得
．
，
，
．
又
．
函数的单调递增区间为
,递减区间为
．… 6分
（Ⅱ）【法一】不等式
，即为
．……………（※）
令
，当
时，
．
则不等式（※）即为
．
…9分
令
，
，
在的表达式中，当
时，
，
又时，
，
在
单调递增，在
单调递减．
在
时，取得最大，最大值为
．
……12分
因此，对一切正整数
，当
时，
取得最大值
．
实数
的取值范围是
．
…………… 13分
【法二】不等式，即为．………………（※）
设
，
，
令
，得
或
．
………… 10分
当
时，
，当
时，
．
当时，取得最大值．
因此，实数的取值范围是．
………… 13分
21. 【解析】(Ⅰ)对一切有
，
即 
, 
(
) ………… 2分
由
及
两式相减,得: 
∴
是等差数列,且
,
.
…………
5分
说明:本小题也可以运用先猜后证(数学归纳法)的方法求解.给分时,猜想正确得2分,经证明给5分.
(Ⅱ)假设存在整数，使得对任意 
，都有
．
∵
∴
∴
∴
⑤
当
（
）时，⑤式即为
⑥
依题意，⑥式对都成立，∴λ<1
………… 7分
当
（）时，⑤式即为
⑦
依题意，⑦式对都成立，∴
…………
9分
∴
∴存在整数
，使得对任意，都有 …10分
（Ⅲ） 由,
知
,
因此,只需证明
.
…………11分
当
或
时,结论显然成立.当
时,
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