11.3.2 一次函数与一元一次不等式

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    1．解一元一次不等式可以看作是:当一次函数值大于（或小于）0时，求自变量相应的取值范围．

    2．解关于x的不等式kx+b>mx+n可以转化为：

    （1）当自变量x取何值时，直线y=（k-m）x+b-n上的点在x轴的上方．

    或（2）求当x取何值时，直线y=kx+b上的点在直线y=mx+n上相应的点的上方．（不等号为“<”时是同样的道理）

魔法师

    例：用画图象的方法解不等式2x+1>3x+4

    分析：（1）可将不等式化为-x-3>0，作出直线y=-x-3，然后观察：自变量x取何值时，图象上的点在x轴上方？

    或（2）画出直线y=2x+1与y=3x+4，然后观察：对于哪些x的值，直线y=2x+1上的点在直线y=3x+4上相应的点的上方？

    解：方法（1）原不等式为：-x-3>0，在直角坐标系中画出函数y=-x-3的图象（图1）．从图象可以看出，当x<-3时这条直线上的点在x轴上方，即这时y=-x-3>0，因此不等式的解集是x<-3．

    方法（2）  把原不等式的两边看着是两个一次函数，在同一坐标系中画出直线y=2x+1与y=3x+4（图2），从图象上可以看出它们的交点的横坐标是x=-3，因此当x<-3时，对于同一个x的值，直线y=2x+1上的点在直线y=3x+4上相应点的上方，此时有2x+1>3x+4，因此不等式的解集是x<-3．

                   (1)                            (2)

演兵场

    ☆我能选

1．直线y=x-1上的点在x轴上方时对应的自变量的范围是（  ）

    A．x>1      B．x≥1      C．x<1      D．x≤1

2．已知直线y=2x+k与x轴的交点为（-2，0），则关于x的不等式2x+k<0的解集是（  ）

    A．x>-2      B．x≥-2      C．x<-2      D．x≤-2

3．已知关于x的不等式ax+1>0（a≠0）的解集是x<1，则直线y=ax+1与x轴的交点是（  ）

    A．（0，1）      B．（-1，0）     C．（0，-1）      D．（1，0）

    ☆我能填

4．当自变量x的值满足____________时，直线y=-x+2上的点在x轴下方．

5．已知直线y=x-2与y=-x+2相交于点（2，0），则不等式x-2≥-x+2的解集是________．

6．直线y=-3x-3与x轴的交点坐标是________，则不等式-3x+9>12的解集是________．

7．已知关于x的不等式kx-2>0（k≠0）的解集是x>-3，则直线y=-kx+2与x轴的交点是__________．

8．已知不等式-x+5>3x-3的解集是x<2，则直线y=-x+5与y=3x-3的交点坐标是_________．

    ☆我能答

9．某单位需要用车，准备和一个体车主或一国有出租公司其中的一家签订合同，设汽车每月行驶xkm，应付给个体车主的月租费是y元，付给出租车公司的月租费是y元，y，y分别与x之间的函数关系图象是如图11-3-4所示的两条直线，观察图象，回答下列问题：

    （1）每月行驶的路程在什么范围内时，租国有出租车公司的出租车合算？

    （2）每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？

（3）如果这个单位估计每月行驶的路程为2300km，那么这个单位租哪家的车合算？

10．在同一坐标系中画出一次函数y₁=-x+1与y₂=2x-2的图象，并根据图象回答下列问题：

    （1）写出直线y₁=-x+1与y₂=2x-2的交点P的坐标．

    （2）直接写出：当x取何值时y₁>y₂；y₁<y₂

    探究园

12．已知函数y₁=kx-2和y₂=-3x+b相交于点A（2，-1）

    （1）求k、b的值，在同一坐标系中画出两个函数的图象．

    （2）利用图象求出：当x取何值时有：①y₁<y₂；②y₁≥y₂

    （3）利用图象求出：当x取何值时有：①y₁<0且y₂<0；②y₁>0且y₂<0

答案:

1．A  2．C  3．D  4．x>2  5．x≥2  6．（-1，0）；x<-1

7．（-3，0）  8．（2，3）

9．①当0<x<1500时，租国有出租车公司的出租车合算；

    ②1500km；③租个体车主的车合算

10．①P（1，0）；②当x<1时y₁>y₂，当x>1时y₁<y₂

11．（1）k=、b=5，∴y=x-2、y=-3x+5  图象略；

    （2）从图象可以看出：①当x<2时y₁<y₂；②当x≥2时y₁≥y₂；

（3）∵直线y₁=x-2与x轴的交点为B（4，0），

直线y₂=-3x+5与x轴的交点为C（，0），

∴从图象上可以看出：

①当x<4时y₁<0，当x>时y₂<0，

所以当<x<4时，y₁<0且y₂<0．

②当x>4时，y₁>0；当x>时y₂<0，

∴当x>4时y₁>0且y₂<0．