海 淀 区 高 三 年 级 第 一 学 期 期 末 练 习
数 学（文科） 2009.1
学校 班级 姓名
题号
一
二
三
总分
（15）
（16）
（17）
（18）
（19）
（20）
分数
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
（1）若角α的终边经过点P（1，
2），则tanα的值为 ( )
（A）
（B）
（C）2 （D）2
（2）已知向量a=（1，0）与向量b=（1，
），则向量a与b的夹角是 ( )
（A）
（B）
（C）
（D）
（3）和直线3x4y+5=0关于x轴对称的直线方程为
( )
（A）3x+4y+5=0 （B）3x+4y5=0
（C）3x+4y-5=0 （D）3x+4y+5=0
（4）若抛物线C：x2=4y上一点P到定点A（0，1）的距离为2，则点P到x轴的距离为( )
（A）0 （B）1 （C）2 （D）4
（5）m、n是不同的直线，
、
是不重合的平面，下列命题是真命题的是 (
)
（A）若m∥α，m∥n，则n∥α （B）若m⊥α，n⊥β，则n⊥m
（C）若m⊥α，m∥β，则α⊥β （D）若α⊥β，m
α，则m⊥β
（6）函数y=log2x的图象按向量a平移后可以得到函数y=log2(x2)+3的图象，则 ( )
（A）a=（2，3） （B）a
=（2，3）
（C）a=（2，3） （D）a=（2，3）
（7）5个人分4张同样的足球票，每人至多分1张，而且票必须分完，那么不同分法的种数是 ( )
（A）54 （B）45
（C）5×4×3×2 （D）
（8）如果直线x+y+m=0与圆x2+y2=2交于相异两点A、B，O是坐标原点，
，那么实数m的取值范围是 ( )
（A）（
，） （B）（，2）
（C）（2，）∪（，2） （D）（2，2）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把答案填在题中横线上.
（9）若实数x，y满足则z=2x+y的最大值是 .
（10）已知正四棱锥的底面边长是
cm，则此正四棱锥的高为 cm.
（11）已知
=
，则cos（π-α）= .
（12）已知正方体A1B
，则这个正方体的边长为 ，
这个正方体的外接球的表面积为 .
（13）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足a+b+c=+1,
sinA+sinB=sinC，则C= ；若C=，则△ABC的面积S= .
（14）若
是等差数列，公差为d且d≠0，a1，d∈R，的前n项和记为Sn，设集合
，
给出下列命题：
①集合Q表示的图形是一条直线
②P∩Q=
③P∩Q只有一个元素
④P∩Q可以有两个元素
⑤P∩Q至多有一个元素
其中正确的命题序号是 .（注：把你认为是正确命题的序号都填上）
（15）(本小题共12分)
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
已知函数f(x)=2sinxcosx+(2cos2x1).
（Ⅰ）将函数f(x)化为Asin(ωx+
)(ω>0，||<
)的形式，填写下表，并画出函数
f(x)在区间
上的图象；
x
ωx+
0
π
2π
f(x)
（Ⅱ）求函数f(x)的单调减区间.
（16） (本小题共14分)
直三棱柱A1B，A.
（Ⅰ）求证：BC1∥平面A1CD；
（Ⅱ）求二面角A-A
（17）(本小题共14分)
已知点A（3，0），B（3，0），动点P满足|PA|=2|PB|.
（Ⅰ）若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；
（Ⅱ）若点Q在直线l1:x+y+3=0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公
共点M，求|QM|的最小值，并求此时直线l2的方程.
（18）（本小题共13分）
某种家用电器的销售利润与该电器的无故障使用时间有关.每台这种家用电器若无故障使用时间不超过一年，则销售利润为0元；若无故障使用时间超过一年不超过三年，则销售利润为100元；若无故障使用时间超过三年，则销售利润为200元.
已知每台这种家用电器无故障使用时间不超过一年的概率为
，无故障使用时间超过一年不超过三年的概率为
.
(Ⅰ)求销售两台这种家用电器的销售利润总和为400元的概率；
(Ⅱ)求销售三台这种家用电器的销售利润总和为300元的概率.
（19）(本小题共14分)
已知椭圆
（a>b>0），A1、A2、B是椭圆的顶点（如图），直线l与椭圆交于异于椭圆顶点的P、Q两点，且l∥A2B.若此椭圆的离心率为
,且|A2B|=
.
（Ⅰ）求此椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线A1P和直线BQ的倾斜角分别为α、β，试判断α+β是否为定值？
若是，求出此定值；若不是，请说明理由.
（20）（本小题共13分）
已知数列{an}中，a1=0,an+1= an?q+qn+1，q>0,bn=an+2n,n=1,2,3,….
(Ⅰ)求证数列
是等差数列；
(Ⅱ)试比较b1b3与
的大小；
(Ⅲ)求正整数k，使得对于任意的正整数n，
≤
恒成立.
海 淀 区 高 三 年 级 第 一 学 期 期 末 练 习
数 学（文科）
一、 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
题号
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
答案
C
C
A
B
C
A
D
C
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）
(9)7 (10)2 (11) 
(12)2,12π (13)1, 
(14)⑤
三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
（15）（本小题共12分）
解：（Ⅰ）f(x)=2sinxcosx+
(2cos2x
1)
=sin2x+cos2x …………………………………………2分（化对一个给一分）
=2sin(2x+
)………………………………………………………………………3分
x
ωx+
0
2
f(x)
0
2
0
2
0
…………………………………………………………………………………………6分
（x的值对两个给一分，全对给2分，不出现0.5分.f(x)的值全对给1分）
图象略.（图象完全正确给分）………………………………………………………8分
（Ⅱ）由2kπ+≤2x+≤2kπ+
(k∈
) …………………………………………9分
得kπ+ ≤x≤kπ+(k∈)
单调减区间为
(k∈)………………………………………12分
注：
(k∈)也可以
（16）（本小题共14分）
解：（Ⅰ）证明：连接AC1，设AC1∩A1C=E，连接DE…………………………1分
∵A1B1C1-ABC是直三棱柱，且AC=AA1=
∴AA1C1C是正方形，E是AC1中点，
又D为AB中点 ∴ED∥BC1…………………………………………3分
又ED
平面A1CD，BC1
平面A1CD
∴BC1∥平面A1CD………………………………………………………5分
（Ⅱ）法一：设H是AC中点，F是EC中点，连接
DH，HF，FD……………………………6分
∵D为AB中点，
∴DH∥BC，同理可证HF∥AE，又AC⊥CB，
故DH⊥AC
又侧棱AA1⊥平面ABC，
∴AA1⊥DH ∴DH⊥平面AA1C1C………8分
由（Ⅰ）得AA1C1C是正方形，则A1C⊥AE
∴A1C⊥HF
∵HF是DF在平面AA1C1C上的射影，
∴DF⊥A1C
∴∠DFH是二面角A-A1C-D的平面角…10分
又DH=
，
…………………………………12分
∴在直角三角形DFH中，
……………13分
∴二面角A-A1C-D的大小为
………………………………14分
法二：在直三棱柱A1B1C1-ABC中，∵AC⊥CB ∴分别以CA,CB,CC1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系C-xyz.因为BC=1，AA1=AC=，则C(0，0，0)，A（，0，0），A1（，0，），B（0，1，0），
，… 7分设平面A1DC的法向量为n=(x，y，z)，则
…………………………………8分
∵
=
，
=（，0，），
∴
则
，……9分
取x=1，得平面A1DC的一个法向量为n=(1，，1).…………10分
m=
=（0，1，0）为平面CAA1C1的一个法向量.…………………11分
………………………………12分
由图可知，二面角A-A1C-D的大小为
……………………14分
（17）（本小题共14分）
解：（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），……1分
则
，……3分
化简可得（x5）2+y2=16即为所求……5分
（Ⅱ）曲线C是以点（5，0）为圆心，4为半径的
圆，如图则直线l2是此圆的切线，连接CQ，则
|QM|=
…7分
当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值 …………………………………………8分
|CQ|=
……10分（公式、结果各一分）
此时|QM|的最小值为
，…………………………………12分
这样的直线l2有两条，设满足条件的两个公共点为M1，M2，
易证四边形M1CM2Q是正方形
∴l2的方程是x=1或y=4……………………………………………14分
（18）（本小题共13分）
解：（Ⅰ）无故障使用时间不超过一年的概率为
，
无故障使用时间超过一年不超过三年的概率为
，
无故障使用时间超过三年的概率为，…………1分
设销售两台这种家用电器的销售利润总和为400元的事件为A……2分
………………………………………………………7分
答：销售两台这种家用电器的销售利润总和为400元的概率为
.
（Ⅱ）设销售三台这种家用电器的销售利润总和为300元的事件为B……8分
…………12分（两类情况，每类2分）
……………………………………………………………13分
答：销售三台这种家用电器的销售利润总和为300元的概率为
.
（19）（本小题共14分）
解：（Ⅰ）由已知可得
，……………………………………………………………2分
所以a=2，b=1，…………………………………………………………3分
椭圆方程为
…………………………………………………4分
（Ⅱ）α+β是定值π ……………………………………………………5分
由（Ⅰ），A2（2，0），B（0，1），且l∥A2B
所以直线l的斜率
，……………………………………6分
设直线l的方程为y=x+m，P（x1，y1），Q（x2，y2）
…………………………………………………………7分
∴Δ=4m24(2m22)=84m2≥0，即
≤m≤…………………8分
…………………………………………………………9分
∵P、Q两点不是椭圆的顶点 ∴α≠、β≠
∴
…………………………10分
又因为y1=x1+m，y2=x2+m
=
=
∴
又α，β∈（0，π）
∴α+β∈（0，2π）
∴α+β=π是定值.…………………………………………………………14分
（20）（本小题共13分）
解：（Ⅰ）
，
即数列
是以0为首项，1为公差的等差数列……………………3分
且
，an=(n1)qn (n=1，2，3，…)
（Ⅱ）bn=an+2n=(n-1)qn+2n ……………………………………………………4分
∴b1=2,b2=q2+4,b3=2q3+8…………………………………………………5分
∴
b1b3=(q2+4)22(2q3+8)=(q4+8q2+16) 4q316
=q44q3+8q2=q2(q24q+8)=q2[(q2)2+4]>0
∴>b1b3…………………………………………………………………8分
（Ⅲ）∵bn=(n1)qn+2n，n=1，2，3…，∴bn >0
b1=2，b1=q2+4，bn+1=nqn+1+2n+1
，
又
………………………………………9分
①当n=1时，b2bnb1bn+1，即
②当n≥2时，∵q>0,q2+4≥2?q?2=4q
∴(q2+4)(n1) 2nq≥4(n1)q2nq=2(n-2)q≥0又q2?2n>0
∴b2bnb1bn+1>0
由①②得
≥0，即对于任意的正整数n, 
≤
恒成立
故所求的正整数k=1.…………………………………………………………13分
说明：其他正确解法按相应步骤给分.
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