1. 令 E_n = (a₁ - a₂)(a₁ - a₃) ... (a₁ - a_n) + (a₂ - a₁)(a₂ - a₃) ... (a₂ - a_n) + ... + (a_n - a₁)(a_n - a₂) ... (a_n - a_n-1). 求证  E_n >= 0 对于n=3或5成立，而对于其他自然数n>2不成立。

2.  凸多边形 P₁ 的顶点是 A₁, A₂, ... , A₉，若将顶点 A₁ 平移至A_i 时则 P₁ 平移成了多边形 P_i ，求证 P₁, P₂, ... , P₉ 之中至少有两个具有一共同内点。

3.  求证能够找到一个由形式 2ⁿ - 3 （n是正整数）的整数构成的集合并满足任何两个元素互质。

4. 四面体ABCD的所有面都是锐角三角形，在线段AB上取一内点X，现在BC上取内点Y，CD上取内点Z，AD上内点T。求证：

5.  对任何自然数 m ，求证存在平面上一有限点集 S，满足：对S中的每一个点 A，存在S中的恰好 m 个点与 A的距离为单位长。

6.  设 A = (a_ij),其中 i, j = 1, 2, ... , n，是一个方阵，元素 a_ij 都是非负整数。若 i、j使得a_ij = 0，则第i行和第j列的元素之和 大于或等于 n。求证：该方阵中所有元素之和 大于或等于n²/2。