1.有十个互不相同的二位数，求证必可从中选出两个不相交的子集，使得这两个子集中的元素之和相等。

2. 设 n>4， 求证每一个圆内接四边形都可以分割成 n 个圆内接四边形。

3.  m,n是任意非负整数，求证下式是一整数。

(2m)!(2n)! 

m!n!(m+n)!

4.  试找出下述方程组的所有正实数解：

        (x₁² - x₃x₅)(x₂² - x₃x₅) <= 0
        (x₂² - x₄x₁)(x₃² - x₄x₁) <= 0
        (x₃² - x₅x₂)(x₄² - x₅x₂) <= 0
        (x₄² - x₁x₃)(x₅² - x₁x₃) <= 0
        (x₅² - x₂x₄)(x₁² - x₂x₄) <= 0

5.  f、g都是定义在实数上并取值实数的函数，并且满足方程

f(x + y) + f(x - y) = 2f(x)g(y)，

又已知 f 不恒等于0且 |f(x)| <= 1 。求证对所有x同样有 |g(x)| <= 1 。

6.  给定四个不相同的平行平面，求证存在一个正四面体，它的四个定点分别在这四个平面上。